高中数学 3.2.1用向量方法解决平行问题课后习题 新人教A版选修21.doc

第一课时用向量方法解决平行问题课时演练促提升a组1.若直线l上有两点a(1,-3,5),b(-1,-1,4),那么直线l的一个方向向量是()a.(1,1,0)b.(4,-4,2)c.(-3,-3,0)d.(4,4,2)解析:由已知=(-2,2,-1),所有与共线的向量均为l的法向量,选项中与共线的只有(4,-4,2),故选b.答案:b2.若=+,则直线ab与平面cde的位置关系是()a.相交b.平行c.在平面内d.平行或在平面内解析:=+,共面,则ab与平面cde的位置关系是平行或在平面内.答案:d3.若平面内有不共线的两向量a=(3,1,-2),b=(2,-2,0),则下列向量中是平面法向量的是()a.(2,2,-2)b.(-1,-1,2)c.d.(3,3,-6)解析:设平面的法向量为n=(x,y,z),依题意有令x=1,则y=1,z=2,于是n=(1,1,2),而与n共线,故为平面的法向量.答案:c4.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,则可能使l的是()a.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)b.a=(1,3,5),u=(1,0,1)c.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)d.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析:l,au,即au=0.故选d.答案:d5.已知平面平面,n=(1,-1,1)是平面的一个法向量,则下列向量是平面的法向量的是()a.(1,1,1)b.(-1,1,-1)c.(-1,-1,-1)d.(1,1,-1)解析:因为,所以两个平面的法向量应共线,只有b选项符合.答案:b6.在正方体abcd-a1b1c1d1中,各棱对应的向量可作为面a1b1c1d1的法向量的个数为.解析:可以作面a1b1c1d1的法向量的有共8个.答案:87.在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,求平面acd1的一个法向量n.解:如图,建立空间直角坐标系,则a(1,0,0),c(0,1,0),d1(0,0,1).设平面acd1的法向量n=(x,y,z).=(-1,1,0),=(-1,0,1),又n为平面acd1的一个法向量,化简,得令x=1,得y=z=1.平面acd1的一个法向量n=(1,1,1).8.已知矩形abcd和矩形adef所在的平面互相垂直,点m,n分别在对角线bd,ae上,且bm=bd,an=ae,求证:mn平面cde.证明:取ab,ad,af所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设b(3a,0,0),d(0,3b,0),f(0,0,3c),则e(0,3b,3c),m(2a,b,0),n(0,b,c).故=(-2a,0,c).又平面cde的一个法向量是=(0,3b,0),故=(-2a,0,c)(0,3b,0)=0,即.又mn平面cde,故mn平面cde.9.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f,g,h,m,n分别是正方体六个表面的中心,证明:平面efg平面hmn.证明:如图,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2,则e(1,1,0),f(1,0,1),g(2,1,1),h(1,1,2),m(1,2,1),n(0,1,1),所以=(0,-1,1),=(1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1).设m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面efg和平面hmn的一个法向量.由令x1=1,得m=(1,-1,-1).由令x2=1,得n=(1,-1,-1).于是有m=n,所以mn.故平面efg平面hmn.b组1.如图,在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,点m,p,q分别为棱ab,cd,bc的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则a1md1p;a1mb1q;a1m平面dcc1d1;a1m平面d1pqb1.以上正确的个数为()a.1b.2c.3d.4解析:,从而a1md1p.正确.答案:c2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面abc的一个单位法向量为()a.b.c.d.解析:设平面abc的法向量为n=(x,y,z),则有取x=1,则y=-2,z=2.所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,所以平面abc的一个单位法向量可以是.答案:b3.已知a(0,0,0),b(1,0,0),c(0,1,0),d(1,1,x),若ad平面abc,则实数x的值是.解析:易求得平面abc的法向量u=(0,0,1),而=(1,1,x),故当ad平面abc时,u=0.故10+10+x=0,即x=0.答案:04.在正方体abcd-a1b1c1d1中,点e是ab的中点,点f是aa1上靠近点a的三等分点,在线段dd1上是否存在一点g,使cgef?若存在,求出点g的位置,若不存在,说明理由.解:存在.如图,建立空间直角坐标系,设正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,则e,f,c(0,1,0),假设在dd1上存在一点g,使cgef,则,由于点g在z轴上,设g(0,0,z),则=(0,-1,z).,=,即(0,-1,z)=.解得z=0,1,点g在线段dd1上,其坐标为.故在线段dd1上存在一点g,使cgef,点g是dd1上靠近点d1的三等分点.5.如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,底面是以abc为直角的等腰直角三角形,ac=2,bb1=3,d是a1c1的中点.证明:a1b平面b1dc.证明:如图,以b为坐标原点,分别以ba,bc,bb1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则b1(0,0,3),c(0, 0),d,a1(,0,3).=(-,0,-3),方法一:因为,所以是共面向量,且不共线.又因为a1b平面b1dc,所以a1b平面b1dc.方法二:设平面b1dc的法向量为n=(x,y,z),则取n=.因为n=0,且a1b平面b1dc,所以a1b平面b1dc.6.在如图所示的多面体中,ef平面aeb,aeeb,adef,efbc,bc=2ad=4,ef=3,ae=be=2,g是bc的中点,求证:ab平面deg.证明:ef平面aeb,ae平面aeb,be平面aeb,efae,efbe.又aeeb,eb,ef,ea两两垂直.以点e为坐标原点,eb,ef,ea分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,a(0,0,2),b(2,0,0),c(2,4,0),