高中数学 2.2数的扩充导学案 北师大版选修31.doc

数的扩充你知道数学史上的“第一次数学危机”是怎么回事吗？它与我们现在常用的哪个概念密切相关？学完本节，你会找到答案1“数”发展的历史顺序大体是：正整数、_、_、_、_、_.2毕达哥拉斯学派基本的信条是“_”，他们相信任何量都可以表示成两个整数之比，给定两条线段一定有一个_3我国的刘徽已经对负数有了深刻的认识，在_中指出负数的绝对值未必小，正数的绝对值未必大元朝的朱世杰在_中第一次明确提出正负数的乘除法则答案：1分数无理数负数零虚数(复数)2万物皆数公共度量3九章算术注算学启蒙【例1】 证明：正方形的对角线与其一边构成不可公度量证明：如图，假设正方形的对角线与其一边构成可公度量，则二者之比为(，互素)根据勾股定理，有2=22.这里2为偶数，则也必为偶数，设=2，于是2=42=22，即2=22，2为偶数，则也必为偶数这与，互素的假设相矛盾，因此正方形的对角线与其一边不可公度量这一证明与我们今天证明为无理数的方法相同你能收集到历史上最早的有关值的计算吗？【例2】 查阅资料欣赏我国九章算术中有关正负数的应用答：九章算术最早给出的正负数加减法则的条文如下：九章算术中的正负术正负术曰，同名相除，异名相益正无入负之，负无入正之其异名相除，同名相益正无入正之，负无入负之这里的“同名”“异名”就是现在的“同号”“异号”，“除”“益”分别是“减”“加”条文的前四句说的是减法法则，大意为：两数相减时，若二数同号，则差数的绝对值等于二数绝对值的差(大减小)；若二数异号，则差数的绝对值为二数绝对值之和减去的数如果是正数而大于被减数，差数为负；减去的数如果是负数而绝对值大于被减数的绝对值，差数为正后四句说的是加法法则，大意为：两数相加时，若二数同号，则和数的绝对值等于二数绝对值之和；若二数异号，则正数的绝对值较大时，和数为正，负数的绝对值较大时，和数为负在九章算术中，正、负数的加减运算法则是怎样的？【例3】 查阅复数的起源，体会复数发展的曲折过程答： 复数的起源16世纪意大利米兰学者卡当(jerome cardan15011576)在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡儿(15961650)，他在几何学(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来数系中发现一颗新星虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多数学家都不承认虚数德国数学家莱布尼茨(16461716)在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”瑞士数学大师欧拉(17071783)说：“一切形如，的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地法国数学家达朗贝尔(17171783)在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是abi的形式(a，b都是实数)法国数学家棣莫佛(16671754)在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在微分公式(1777年)一文中第一次用i来表示1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的挪威的测量学家成塞尔(17451818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视德国数学家阿甘得(17771855)在1806年公布了虚数的图像表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点a，纵轴上取对应实数b的点b，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点c就表示复数abi.像这样，由各点都对应复数的平面叫作“复平面”，后来又称“阿甘得平面”高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数abi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合，统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据本节主要介绍了无理数、零、复数发展的曲折过程，使我们不但对数的发展史有了了解，而且也感受到了数学家的艰辛与伟大答案：1答：在巴比伦一块公元前1700年左右的圆饼状泥板上，刻有一个正方形，并画出了对角线对角线上写了一行数字，即1,24,51,10，化为10进制小数就是11.414 212 96.显然，这就是的近似值，与其真值的差不超过6107，正是按勾股定理推算出来的单位正方形对角线的长在古印度也有对的记载测绳的法规给出了1.414 215 68，误差是2.1106，比泥板上 的近似值的