高中数学 第3章 空间向量与立体几何 22《用向量方法求空间中的角课时作业 新人教A版选修21.doc

课时作业(二十二)用向量方法求空间中的角a组基础巩固1如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a.b.c. d.解析：设cb1，则a(2,0,0)，b1(0,2,1)，c1(0,2,0)，b(0,0,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案：a2在正方体abcda1b1c1d1中，e是c1c的中点，则直线be与平面b1bd所成的角的正弦值为()a b.c d.解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则d(0,0,0)，b(2,2,0)，b1(2,2,2)，e(0,2,1)(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)设平面b1bd的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线be与平面b1bd所成角为，则sin|cosn，|.答案：b3在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bc2，dd13，则ac与bd1所成角的余弦值为()a0 b.c d.解析：建立如图坐标系，则d1(0,0,3)，b(2,2,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，(2，2,3)，(2,2,0)cos，0.，90，其余弦值为0.答案：a4正方形abcd所在平面外有一点p，pa平面abcd.若paab，则平面pab与平面pcd所成的二面角的大小为()a30 b45c60 d90解析：建系如图，设ab1，则a(0,0,0)，b(0,1,0)，p(0,0,1)，d(1,0,0)，c(1,1,0)平面pab的法向量为n1(1,0,0)设平面pcd的法向量n2(x，y，z)，则得令x1，则z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面pab与平面pcd所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.答案：b5在长方体abcda1b1c1d1中，b1c和c1d与底面所成角分别为60和45，则异面直线b1c和c1d所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析：建立如图的空间直角坐标系，可知cb1c160，dc1d145，设b1c11，cc1dd1.c1d1，则有b1(，0,0)，c(，1，)，c1(，1,0)，d(0,1，)(0,1，)，(，0，)cos，.答案：a6已知直角abc中，c90，b30，ab4，d为ab的中点，沿中线将acd折起使得ab，则二面角acdb的大小为()a60 b90c120 d150解析：取cd中点e，在平面bcd内过b点作bfcd，交cd延长线于f.据题意知aecd，aebf，ef2，ab.且，为二面角的平面角，由()2得1333423cos，cos，.，120.即所求的二面角为120.答案：c7直线l的方向向量a(2,3,2)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是，a，n所成的角为，sin|cos|.答案：8在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱aa1和bb1的中点，则sin，_.解析：建立如图坐标系，设正方体棱长为2.可知(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：9如图正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是平面a1b1c1d1的中心，则bo与平面abc1d1所成角的正弦值为_解析：建立坐标系如图，则b(1,1,0)，o，(1,0,1)是平面abc1d1的一个法向量又，bo与平面abc1d1所成角的正弦值为.答案：10如图，在空间直角坐标系中，bc2，原点o是bc的中点，点a的坐标是，点d在平面yoz上，且bdc90，dcb30.(1)求向量的坐标；(2)设向量和的夹角为，求cos的值解：(1)过d作debc，垂足为e，在rtbdc中，由bdc90，dcb30，bc2，得bd1，cd，decdsin30.oeobbeobbdcos601.d点的坐标为，即向量.(2)依题意，(0，1,0)，(0,1,0)，所以，(0,2,0)则cos.b组能力提升11如图所示，已知点p为菱形abcd所在平面外一点，且pa平面abcd，paadac，点f为pc中点，则二面角cbfd的正切值为()a. b.c. d.解析：设acbdo，连接of，以o为原点，ob，oc，of所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设paadac1，则bd，b，f，c，d.，且为平面bdf的一个法向量由，可得平面bcf的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.答案：d12如图，已知正三棱柱abca1b1c1的各条棱长都相等，m是侧棱cc1的中点，则异面直线ab1和bm所成的角的大小是_解析：不妨设棱长为2，则，cos，0.故ab1与bm的夹角为90.答案：9013如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acbc，acbccc1，m、n分别是a1b、b1c1的中点(1)求证：mn平面a1bc；(2)求直线bc1和平面a1bc所成角的大小解析：(1)证明：根据题意ca、cb、cc1两两垂直，以c为原点，ca、cb、cc1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设acbccc1a，则b(0，a,0)，b1(0，a，a)，c(0,0,0)，c1(0,0，a)，a1(a,0，a)，m，n.所以(a，a，a)，(a,0，a)，.于是0，0，即mnba1，mnca1.又ba1ca1a1，故mn平面a1bc.(2)因为mn平面a1bc，则为平面a1bc的法向量，又(0，a，a)，则cos，所以，60.故直线bc1和平面a1bc所成的角为30.14如图，在五面体abcdef中，fa平面abcd，adbcfe，abad，m为ec的中点，afabbcfead.(1)求异面直线bf与de所成的角的大小；(2)证明平面amd平面cde；(3)求二面角acde的余弦值解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点a为坐标原点设ab1，依题意得b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，e(0,1,1)，f(0,0,1)，m.(1)(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以异面直线bf与de所成的角的大小为60.(2)证明：由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，ceam，cead.15如图所示，已知在四面体abcd中，o为bd的中点，cacbcdbd2，abad.(1)求证：ao平面bcd；(2)求异面直线ab与cd所成角的余弦值解：(1)证明：因为bodo，abad，所以aobd.因为bodo，bccd，所以cobd.在aoc中，由已知可得ao1，co，而ac2，所以ao2c