高中数学 5.1初识无限同步精练 北师大版选修31.doc

初识无限练习1建立“无穷集合论”的数学家是()a费马 b欧拉 c高斯 d康托21615年，为了研究旋转体的体积，_引入了无穷大和无穷小的概念()a开普勒 b莱布尼茨c牛顿 d费马3下列说法正确的是()a全体有理数比全体自然数多b有理数集与自然数集之间存在一一对应关系c有理数集与自然数集的基数不同d有理数集与自然数集是相等的集合4将正整数集z中去掉一个元素“1”后剩余的元素组成的集合记为a，则下列叙述正确的是()az比a多一个元素bzacz与a的元素个数一样多dz的基数大于a的基数5下列叙述正确的是()a所有可数集的基数都相同b所有的无限集都是对等的c所有的无限集都可以与正整数集之间建立一一对应关系d如果存在一个对应法则，使得a中的任一个元素a，按照对应法则，必有b中唯一的元素b与之对应，则称建立了a与b之间的一个一一对应6在证明全体有理数是可数的时，我们把有理数排列成一个数阵，从中间的0开始数起，画一个_形的螺旋线，按照这一路线，每个有理数都会被数到，它将对应一个唯一的正整数，这样我们就证明了全体有理数是可数的71886年，法国数学家_说了一句很有名的话：“上帝创造了正整数，其他一切都是人类的创造”8证明：集合(0,5)与(0,12)之间可以建立一一对应关系9设全体正奇数为集合a，全体正偶数为集合b，证明：a与b对等10证明：正奇数集a与正整数集z有相同的基数11设a，r(，)，建立一个a与r之间一一对应关系12设a为可数集，b为有限集或可数集，且ab，证明：ab为可数集13上网搜集关于康托的生平材料，并整理出来参考答案1答案：d2答案：a3答案：b解析：因为自然数集和有理数集都是可数集，所以它们之间存在一一对应关系4答案：c解析：z与a之间存在一一对应关系，故z与a的元素个数一样多5答案：a解析：因为所有的可数集都可与正整数集之间建立一一对应关系，所以它们的基数都相同6答案：矩7答案：克罗内克8证明：从集合(0,5)中任取一个元素x，按照对应法则f：xy，在集合(0,12)中存在唯一元素y与x对应反之，在(0,12)中任取一个元素y，按照对应法则f：xy, 在集合(0,5)中存在唯一的元素x与y对应从而建立了集合(0,5)与(0,12)之间的一一对应关系9证明：对于a中的任一个元素x，按照对应法则f：yx1，则在b中存在唯一的一个元素yx1与之对应；反之，对于集合b中的任一元素y，按照对应法则f：yx1，在集合a中存在唯一的一个元素x与之对应故a与b之间存在一一对应关系，所以集合a与b对等10证明：对于集合z中的任一个元素x，按照对应法则f：y2x1，在集合a中存在唯一元素y与之对应反之，对于集合a中的任一元素y，按照对应法则f：y2x1，在z中存在唯一的元素x与之对应这样a与z建立了一一对应关系，所以a与z有相同的基数11解：在a中，任取一个元素x，按照对应法则f：ytanx，在r中存在唯一的元素y与之对应；反之，对于r中的任一元素y，按照对应法则f：ytanx，在a中存在唯一的元素x与之对应这样就建立了集合a与r之间的一一对应关系12证明：由于可数集总可排成无穷序列，不妨设aa1，a2，an，bb1，b2，bn(当b有限时)或bb1，b2，bn，(当b可数时)由于当b有限时(b排到前，a排在后)，abb1，b2，bn，a1，a2，an；又当b可数时(交错排列)，aba1，b1，a2，b2，an，bn，可见ab总可以排成无穷序列，与正整数集一一对应，从而是可数集13答：参考材料如下：康托(cantor，georg ferdinand philip,18451918)，德国数学家，集合论的创始者.1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日卒于哈雷.1862年入瑞士苏黎世大学，翌年转入柏林大学，主修数学，师从e.e.库默尔、k.魏尔斯特拉斯和l.克罗内克.1867年获博士学位，曾任哈雷大学教授大学期间康托主修数论，受魏尔斯特拉斯的影响，对严格的数学分析理论感兴趣他在1872年以本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则.1873年他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则他巧妙地将一条直线上的点与一个平面甚至几维空间的点一一对应起来在研究无穷数与超限数理论时，他还引进势、基数、序数等概念并定义了基数之间的运算及序的运算法则，对有限数集理论作出了重要贡献19世纪70年代许多数学家只承认有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合康托集合论肯定了作为完成整体的