高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（一）学案 新人教B版必修4.doc

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 学习目标1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系知识链接1如何快速做出余弦函数的图象？答(1)依据诱导公式cos xsin，要得到ycos x的图象，只须把ysin x的图象向左平移个单位长度即可余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如下图所示：(2)在精度要求不高时，要画出ycos x，x0,2的图象，可以通过描出(0,1)，(，1)，(2，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数ycos x，x0,2的图象2观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数ysin x的图象关于原点对称，余弦函数ycos x的图象关于y轴对称预习导引正弦函数和余弦函数的图象、性质对比(下表中kz)函数ysin xycos x图象定义域rr值域1,11,1奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2最小正周期：2单调性在2k，2k上单调递增；在2k，2k上单调递减在2k，2k上单调递增；在2k，2k上单调递减最值在x2k时，ymax1；在x2k时，ymin1在x2k时，ymax1；在x2k时，ymin1对称性对称中心：(k，0)，对称轴：xk对称中心：k，0，对称轴：xk要点一余弦函数的单调性例1求函数y3cos的单调递增区间解y3cos3cos.由2k2k(kz)，解得4kx4k(kz)，函数y3cos的单调递增区间为4k，4k(kz)规律方法确定函数yasin(x)或yacos(x)单调区间的基本思想是整体换元思想即将x看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解有时还应兼顾函数的定义域跟踪演练1求函数ylogcos的单调递增区间解根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数ycos的单调递减区间，同时x应使cos0.2k2k(kz)整理得4kx0，cos时，y取得最大值a3，a34，a2.当a0，cos1时，y取得最大值a3，a34，a1，综上可知，实数a的值为2或1.要点三余弦曲线的对称性例3已知函数y2cos.(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称，求的最小正值解(1)令2xk，kz，解得x，kz.令k0，x；令k1，x.函数y2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x.(2)设该函数向右平移个单位后解析式为yf(x)，则f(x)2cos2cos.yf(x)的图象关于原点(0,0)对称，f(0)2cos0.2k，kz.解得.令k0，得.的最小正值是.规律方法关于正弦、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f(x)asin(x)(或acos(x)的图象关于xx0对称f(x0)a或a.(2)f(x)asin(x)(或acos(x)的图象关于点(x0,0)中心对称f(x0)0.跟踪演练3把函数ycos的图象向右平移个单位，正好关于y轴对称，求的最小正值解由题意平移后的函数为ycos，它是偶函数，因此，当x0时，cos取得最大值1或最小值1，故2n或(2n1) (nz)，即k (kz)k (kz)，当k1时，取最小正值.1函数f(x)cos(2x)的最小正周期是()a. bc2 d4答案b解析最小正周期为t.故选b.2如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()a. b. c. d.答案a解析由y3cos(2x)的图象关于点中心对称知，f0，即3cos0.k(kz)k(kz)|的最小值为|.3已知0x2，试探索sin x与cos x的大小关系解用“五点法”作出ysin x，ycos x(0x2)的简图由图象可知当x或x时，sin xcos x；当xcos x；当0x或x2时，sin xcos x.4(1)已知f(x)的定义域为0,1)，求f(cos x)的定义域；(2)求函数ylg sin(cos x)的定义域解(1)0cos x02kcos x2k(kz)又1cos x1，00，0)的图象也可由ycos x的图象通过变换得到，变换规律相同3在研究yacos(x)的性质时，注意采用整体代换的思想如，它在x2k(kz)时取得最大值，在x2k(kz)时取得最小值一、基础达标1若ysin x是减函数，ycos x是增函数，那么角x在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案c2函数y2cos x的单调递增区间是()a2k，2k2 (kz)bk，k2 (kz)c. (kz)d2k，2k (kz)答案d解析令ucos x，则y2u，y2u在u(，)上是增函数，y2cos x的增区间，即ucos x的增区间，即ucos x的减区间2k，2k (kz)3下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()aysin bycoscysin dycos答案a解析因为函数周期为，所以排除c、d.又因为ycossin 2x在上为增函数，故b不符合故选a.4要得到ycos的图象，只要将ysin 2x的图象()a向左平移个单位 b向右平移个单位c向左平移个单位 d向右平移个单位答案a解析ysin 2xcoscoscoscos若设f(x)sin 2xcos ，则fcos，向左平移个单位5函数y的单调递减区间是_答案，kz解析求函数y的单调递减区间，同时x应使2cos x10，2kx2k (kz)，所以函数y的单调递减区间是 (kz)6方程x2cos x的实数解有_个答案2解析作函数ycos x与yx2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解7判断下列函数的奇偶性并求最小正周期(1)f(x)cos；(2)f(x)sin.解(1)f(x)cossin x，f(x)sin(x)sin xf(x)f(x)是奇函数最小正周期t2.(2)f(x)sincosx.f(x)f(x)f(x)是偶函数最小正周期t3.二、能力提升8在(0,2)内使sin x|cos x|的x的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析sin x|cos x|，sin x0，x(0，)，在同一坐标系中画出ysin x，x(0，)与y|cos x|，x(0，)的图象，观察图象易得x.9设0x2，且|cos xsin x|sin xcos x，则x的取值范围为_答案解析由题意知sin xcos x0，即cos xsin x，在同一坐标系画出ysin x，x0,2 与ycos x，x0,2的图象，如图所示：观察图象知x.10函数ycos(2x)(0，即2k2x2k，kz，kxk，kz，函数的定义域为.由于在定义域内0cos 2x1，lg cos 2x0，函数的值域为(，0(2)f(x)lg cos2(x)lg cos 2xf(x)，该函数是偶函数(3)cos 2x的周期为，即cos 2(x)cos 2x.f(x)lg cos 2(x)lg cos 2xf(x)该函数的周期为.(4)ylg u是增函数当x (kz)时，ucos 2x是增函数；当x (kz)时，ucos 2x是减函数因此，函数ylg cos 2x在 (kz)上是增函数；在 (kz)上是减函数12已知0x，求函数ycos2x2acos x的最大值m(a)与最小值m(a)解设cos xt，0x，0t1.yt22at(ta)2a2，当a0时，m(a)0，m(a)12a；当0a时，m(a)a2，m(a)12a；当a0，0，|.由图知，a0.4