安徽省中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第四章 三角形 4.3 特殊三角形课件.ppt

4 3特殊三角形 了解等腰三角形和直角三角形的有关概念 掌握等腰三角形的判定 并会运用等腰三角形的性质解决问题 掌握直角三角形的性质和判定 理解等边三角形的性质和判定 掌握并运用勾股定理及其逆定理 掌握角平分线性质定理及其逆定理 并会利用它解决问题 掌握线段垂直平分线定理及其逆定理 并会利用它解决问题 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 素养提升 等腰三角形的性质与判定 8年6考 1 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 2 等腰三角形的顶角的平分线 底边上的高 底边上的中线重合 简称 等腰三角形三线合一 3 等腰三角形是轴对称图形 底边上的中线所在的直线就是它的对称轴 2 等腰三角形的判定 1 按定义 有两条边相等的三角形就是等腰三角形 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称 等角对等边 特别提醒等腰三角形 三线合一 是证明两直线互相垂直的重要方法 也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 素养提升 3 等边三角形 1 等边三角形的性质 等边三角形的三条边都相等 等边三角形的三个角都是60 2 等边三角形的判定 按定义 三边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有两个角是60 的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 3 等边三角形的面积的求法 名师点睛等边三角形的四种判定方法都可以应用 要根据不同的条件进行选择 以使问题简单化 考点扫描 素养提升 典例1 2018 合肥期末 如图 在 abc中 ab ac bac 36 cd是 acb的平分线交ab于点d 过点a作ae bc 交cd的延长线于点e 1 求 adc的度数 2 求证 ae ac 3 试问 ade是等腰三角形吗 请说明理由 解析 1 利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求出 b acb 72 求出 dcb 根据三角形外角性质求出即可 2 先判断出 bce ace 再判断出 bce e 即可得出结论 3 根据平行线求出 ead 根据三角形内角和定理求出 ade 即可得出答案 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 答案 1 ab ac bac 36 b acb 180 bac 72 cd是 acb的平分线 dcb acb 36 adc b dcb 72 36 108 2 cd是 acb的平分线 bce ace ae bc bce e ace e ae ac 3 ade是等腰三角形 理由 ae bc eab b 72 b 72 dcb 36 ade bdc 180 72 36 72 ead ade ae de 即 ade是等腰三角形 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 提分训练1 复习课上 老师给出一个问题 已知等腰三角形的一边等于5 另一边等于6 求它的周长 小华代表小组发言 等腰三角形的边有两种 腰和底边 所以第一种情况5是腰长 6是底边长 第二种情况5是底边长 6是腰长 从而得最终结果为16或17 小华的上述方法体现的数学思想是 a 公理化b 分类讨论c 数形结合d 由特殊到一般 解析 等腰三角形有两条边长为5和6 而没有明确腰 底分别是多少 所以要进行讨论 因此体现的数学思想是分类讨论 b 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 2 2018 合肥包河区模拟 如图 在四边形abcd中ac bd为对角线 ab bc ac bd 则 adc的大小为 a 120 b 135 c 145 d 150 d 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 直角三角形的性质与判定 8年7考 1 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角互余 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3 直角三角形中 30 的角所对的直角边等于斜边的一半 等于斜边的一半的直角边所对的角是30 4 勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 名师点睛已知直角三角形中的两边求第三边 没有明确谁是斜边 时 一般要分类讨论 所求边是斜边 已知两边中的较长边是斜边 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 2 直角三角形的判定 1 有两个角的和等于90 的三角形是直角三角形 2 勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和 那么这个三角形是直角三角形 这条边所对的角是直角 补充 一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 这条边所对的角是直角 3 直角三角形面积的求法 其中a b是直角边 h是斜边c上的高 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 典例2 2018 湖北黄冈 如图 在rt abc中 acb 90 cd为ab边上的高 ce为ab边上的中线 bd 2 ce 5 则cd 答案 c 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 提分训练3 2018 广西贺州 如图 在 abc中 bac 90 ad bc 垂足为d e是边bc的中点 ad ed 3 则bc的长为 d 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 初高中衔接射影定理在直角三角形中 斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项 每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 在rt abc中 abc 90 bd是斜边ac上的高 则有射影定理如下 bd2 ad cd ab2 ad ac bc2 cd ac 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 角的平分线的性质与判定 8年4考 1 定义在角的内部 以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 2 性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等 3 判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 典例3如图 已知p是 aob的角平分线上的一点 aob 60 pd oa m是op的中点 点c是ob上的一个动点 若pc的最小值为3cm 则md的长度为 解析 当pc ob时 pc取最小值 p是 aob的角平分线上的一点 pd oa pc ob pd pc 3 aop 30 op 2pd 6 pd oa m是op的中点 dm op 3 答案 a 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 方法指导 已知角的平分线及平分线上一点 要解决几何计算与证明问题 一般过角平分线上的一点作到两边的垂线 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 提分训练5 如图所示 在rt abc中 a 90 bd平分 abc 交ac于点d 且ab 4 bd 5 则点d到bc的距离是 a 2b 3c 4d 5 解析 过点d作de bc于点e a 90 bd平分 abc ad de 在rt abd中 a 90 ab 4 bd 5 由勾股定理得ad 3 de 3 即点d到bc的距离是3 b 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 6 如图 bp cp分别是 abc的外角 cbd ecb的平分线 小明经过分析后 得出了以下结论 点p在 bac的平分线上 bp cp 点p到ad ae bc的距离相等 把你认为正确的结论的序号写在横线上 解析 过点p作pm ab于点m pg ac于点g pn bc于点n 由角平分线的性质得pm pn pg 正确 根据角平分线的判定定理知 点p在 bac的平分线上 正确 不成立 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 线段的垂直平分线 8年3考 1 定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 2 性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3 判定与线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 技巧点拨解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接 利用垂直平分线的性质解题 考点1 考点2 考点3 考点4 考点扫描 素养提升 典例4如图 在 abc中 acb 90 分别以点a b为圆心 大于ab长为半径作弧 两弧交于点m n 作直线mn分别交ab ac于点d e 连接cd be 下列结论错误的是 a ad cdb be cdc bec bdcd be平分 cbd 解析 由题可得 de是ab的垂直平分线 ae be ad bd 在rt abc中 d是ab的中点 cd ad 故a正确 de ab 在rt ade中 ae ad be cd 故b正确 bec是等腰 abe的外角 bec 2 a bdc是等腰 acd的外角 bdc 2 a bec bdc 故c正确 当 a 30 时 abe 30 cbe 当 a 30 时 be平分 abc 而 a不一定为30 be不一定平分 cbd 故d错误 答案 d 考点扫描 素养提升 考点扫描 素养提升 2 等腰三角形中分类讨论问题典例2已知三角形abc是等腰三角形 1 若 a 80 求 b的度数 2 当 a的度数不同 得到 b的度数的个数也可能不同 如果在等腰三角形abc中 设 a x 当 b有三个不同的度数时 请你探索x的取值范围 解析 1 由于等腰三角形的顶角和底角没有明确 因此要分类讨论 2 分两种情况 90 x 180 0 x 90 结合三角形内角和定理求解即可 答案 1 若 a为顶角 则 b 180 a 2 50 若 a为底角 b为顶角 则 b 180 2 80 20 若 a为底角 b为底角 则 b 80 故 b的度数为50 或20 或80 考点扫描 素养提升 2 分两种情况 当90 x 180时 a只能为顶角 b的度数只有一个 当0 x 90时 若 a为顶角 即x 60时 b有三个不同的度数 综上所述 可知当0 x 90且x 60时 b有三个不同的度数 考点扫描 素养提升 3 与特殊三角形有关探究问题典例3 2018 山东淄博 1 操作发现 如图 小明画了一个等腰三角形abc 其中ab ac 在 abc的外侧分别以ab ac为腰作了两个等腰直角三角形abd ace 分别取bd ce bc的中点m n g 连接gm gn 小明发现了 线段gm与gn的数量关系是 位置关系是 2 类比思考 如图 小明在此基础上进行了深入思考 把等腰三角形abc换为一般的锐角三角形 其中ab ac 其他条件不变 小明发现的上述结论还成立吗 请说明理由 3 深入研究 如图 小明在 2 的基础上 又做了进一步的探究 向 abc的内侧分别作等腰直角三角形abd ace 其他条件不变 试判断 gmn的形状 并给予证明 考点扫描 素养提升 解析 1 利用sas判断出 acd aeb 得出cd be adc abe 进而判断出 bdc dbh 90 即 bhd 90 最后用三角形中位线定理即可得出结论 2 同 1 的方法即可得出结论 3 同 1 的方法得出mg ng 最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论 考点扫描 素养提升 答案 1 连接be cd相交于点h abd和 ace都是等腰直角三角形 ab ad ac ae bad cae 90 cad bae acd aeb sas cd be adc abe bdc dbh bdc abd abe bdc abd adc adb abd 90 bhd 90 cd be 点m g分别是bd bc的中点 cd be mg ng mg ng 考点扫描 素养提升 2 成立 理由 连接cd be相交于点h 同 1 的方法得mg ng mg ng 3 连接eb dc 延长线相交于点h 同 1 的方法得 abe adc mg ng aeb acd ceh ech aeh aec 180 acd ace acd 45 180 acd 45 90 dhe 90 同 1 的方法得mg ng gmn为等腰直角三角形 命题点1结合勾股定理考查最值 常考 1 2016 安徽第10题 详见专题三典例1命题点2折叠与勾股定理综合 常考 2 如图 rt abc中 ab 9 bc 6 b 90 将 abc折叠 使点a与bc的中点d重合 折痕为mn 则线段bn的长为 c