高中数学 第一章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用学案 苏教版必修4.doc

1.3.4三角函数的应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型知识链接1数学模型是什么？什么是数学模型的方法？答简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法2上述的数学模型建立的一般程序是什么？答解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答预习导引1三角函数的周期性yasin(x) (0)的周期是t；yacos(x) (0)的周期是t；yatan(x) (0)的周期是t.2函数yasin(x)k (a0，0)的性质(1)ymaxak，yminak.(2)a，k.(3)可由确定，其中周期t可观察图象获得(4)由x10，x2，x3，x4，x52中的一个确定的值3三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.要点一三角函数图象的应用例1作出函数y|cos x|，xr的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间解y|cos x|作出函数ycos x的图象后，将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，如图：由图可知，y|cos x|是偶函数，t，单调递增区间为(kz)，单调递减区间为(kz)规律方法翻折法作函数图象(1)要得到y|f(x)|的图象，只需将yf(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，即“下翻上”(2)要得到yf(|x|)的图象，只需将yf(x)的图象在y轴右边的部分沿y轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分跟踪演练1函数f(x)3sin的部分图象如图所示(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)的最小正周期为，x0，y03.(2)因为x，所以2x.于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.要点二应用函数模型解题例2已知电流i与时间t的关系为iasin(t)(1)如图所示的是iasin(t)(0，|)在一个周期内的图象，根据图中数据求iasin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流iasin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解(1)由图知a300，设t1，t2，则周期t2(t2t1)2.150.又当t时，i0，即sin0，而|0)，300942，又n*，故所求最小正整数943.规律方法例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径跟踪演练2弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：h3sin.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？解(1)令t0，得h3sin，所以开始振动的位置为.(2)由题意知，当h3时，t，即最高点为；当h3时，t，即最低点为.(3)t3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次(4)f0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次要点三构建函数模型解题例3某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t(时)03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从yatb，yasin(t)b，yacos(t)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间解(1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择yasin(t)b较合适令a0，0，|0，0，|)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为_答案f(x)2sin 7解析由条件可知b7，a2.又t2(73)8，令3，f(x)2sin7.4如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点p处(点p与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0)(2)由10sint1217，得sint，则t. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验一、基础达标1动点a(x，y)在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t0时，点a的坐标是(，)，则当0t12时，动点a的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是_答案0,1和7,12解析t12，从而设y关于t的函数为ysin(t)又t0时，y，可取，ysin(t)，当2kt2k(kz)，即12k5t12k1(kz)时，函数递增0t12，函数的单调递增区间为0,1和7,122一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：t00.10.20.30.40.50.60.70.8y4.02.80.02.84.02.80.02.84.0则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为_答案y4.0cos t解析设yasin(x)，则a4.0，又t0时，y4.0，4.04.0sin ，可取，y4.0sin，即y4.0cos t.3下图显示相对于平均海平面的某海弯的水面高度h(米)在某天24小时的变化情况，则水面高度h关于从夜间零时开始的小时数t的函数关系式为_答案h6sin4设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykasin(t)的图象下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_y123sin t，t0,24；y123sin，t0,24；y123sin t，t0,24；y123sin，t0,24答案解析在给定的四个选项中我们不妨代入t0及t3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是.5函数y2sin的最小正周期