高中数学 2.6距离的计算练习 北师大版选修21.doc

第二章2.6距离的计算一、选择题1以下说法错误的是()a两平行平面之间的距离就是一个平面内任一点到另一平面的距离b点p到面的距离公式是d|，其中a为面内任一点，n为面的法向量c点p到直线l的距离公式是d|，其中a为直线l上任一点，a为l的法向量d异面直线l1与l2，在l1上任取一点p，在l2上任取一点q，则|的最小值，就是l1与l2的距离答案c解析选项c中，a必须与l以及共面时，此公式才成立2二面角l等于120，a、b是棱l上两点，ac、bd分别在半平面、内，acl，bdl，且abacbd1，则cd的长等于()a b c2d答案c解析如图所示，|1，由得|2222|2|2|2232cos(180120)4，|2.3在正三棱柱abca1b1c1中，ab2，aa11则点a到平面a1bc的距离为()abcd答案b4在长方体abcda1b1c1d1中，ab4，bc3，cc12，则平面a1bc1与平面acd1的距离是()abc3d2答案a5在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是棱aa1、bb1的中点，g为棱a1b1上的一点，且a1g(01)，则点g到平面d1ef的距离为()abcd答案d解析由a1b1平面d1ef知，点g到平面d1ef的距离即为直线a1b1 上任一点到平面d1ef的距离，可求点a1或b1到平面d1ef的距离6在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是线段bb1、b1c1的中点，则直线mn和平面acd1的距离是()abcd答案d解析如图，建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，d1(0,0,1)，m(1,1，)，n(，1,1)，c(0,1,0)所以(1,0,1)，(，0，)所以.又直线ad1与mn不重合，所以.又mn平面acd1，所以mn平面acd1.因为(1,0,1)，(0,1，1)，(1,1,0)设平面acd1的法向量n(x，y，z)，则所以 所以xyz.令x1，则n(1,1,1)又因为(1,1，)(1,0,0)(0,1，)，所以|.所以点m到平面acd1的距离为.简解：延长nm交cb的延长线于h，连ah、d1h，mh平面acd1，m到平面acd的距离即为h到平面acd1的距离则vd1ahcvhacd1hh.二、填空题7正方形abcd与abef的边长都为a，若二面角eabc的大小为30，则ef到平面abcd的距离为_答案a解析ef到平面abcd的距离即为点e到平面abcd的距离，da8在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是a1b1、cd的中点，则点b到平面aec1f的距离为_答案解析以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，f(0，0)，e(1，1)，b(1,1,0)(0，1)，(1，0)设平面aec1f的法向量为n(1，)，则n0，n0.n(1,2，1)又(0,1,0)，点b到平面aec1f的距离d.三、解答题9如图所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截而得到的，其中ab4，bc2，cc13，be1.求bf的长解析建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0,0,0)，b(2,4,0)，a(2,0,0)，c(0,4,0)，e(2,4,1)，c1(0,4,3)设f(0,0，z)，aec1f为平行四边形，由得(2,0，z)(2,0,2)z2，f(0,0,2)，(2，4,2)于是|2，即bf的长为2.10已知三棱柱abca1b1c1的各条棱长均为a，侧棱垂直于底面，d是侧棱cc1的中点，问a为何值时，点c到平面ab1d的距离为1.解析建立如图所示的空间直角坐标系由题设可知a(a，0)，c(0，a,0)，b1(0,0，a)，d(0，a，)，于是有(a，a)，(0，a，)，(a，0)设n(x，y，z)为平面ab1d的法向量，则.令y1，可得n(，1,2)所以点c到平面ab1d的距离d|a令a1，解得a2.即a2时，点c到平面ab1d的距离为1.一、选择题1正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是a1c1的中点，则o到平面abc1d1的距离为()abcd答案b解析以、为正交基底建立空间直角坐标系，则a1(1,0,1)，c1(0,1,1)，平面abc1d1的法向量(1,0,1)，点o到平面abc1d1的距离d.2已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点a(1,3,0)在内，则p(2,1,4)到的距离为()a10b3cd答案d解析(1,2，4)，又平面的一个法向量为n(2，2,1)，所以p到的距离为|.3空间四点a、b、c、d每两点的连线长都等于a，动点p在线段ab上，动点q在线段cd上，则点p到q的最小距离为()abacada答案b解析如图，求pq的最小值，需先将pq表示出来，再用代数方法确定最值由题设可知，、两两夹角均为60.设，则()(1).|22(1)222(1)2(1)22a2a22a22a22a2a2a2a22a2a2a2(221)a2()2()2.|a4已知平面平面，线段ab、cd夹在、之间，ab13，cd5，且它们在内的射影之差为2，则和之间的距离为()a3b4c5d6答案c解析如图所示，设a、c在平面上的射影为a、c，则设、之间的距离aacca，且ba、dc分别为ab、cd在内的射影在rtaab中，ab13，则ab.在rtccd中，cd5，则cd.又cd与ab相差为2，即abcd2，a5，平面和之间的距离为5.二、填空题5在底面是直角梯形的四棱锥pabcd中，侧棱pa底面abcd，bcad，abc90，paabbc2，ad1，则ad到平面pbc的距离为_答案解析由已知ab，ad，ap两两垂直以a为坐标原点ab、ad、ap分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，p(0,0,2)，(2,0，2)，(0,2,0)，设平面pbc的法向量为n(a，b，c)，则n(1,0,1)，又(2,0,0)，d.简解：由题意易知ad平面pab且ad平面pbc，取pb的中点h，则ah平面pbc且ahpb，故ad到平面pbc的距离为.6在正三棱柱abca1b1c1中，所有棱长均为1，则点b1到平面abc1的距离为_答案解析解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a，b(0,1,0)，b1(0,1,1)，c1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面abc1的法向量为n(x，y,1)，则有解得n，则d.解法二：vb1abc1vabb1c1，vabb1c1sbb1c1ab，又vb1abc1sabc1h，sabc1ab，h.简解：由题意可知b1到平面abc的距离等于c到平面abc的距离由vc1abcvcabc1知，h，即b1到平面abc的距离为.三、解答题7如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是边长为1的菱形，abc，oa底面abcd，oa2，m为oa的中点，n为bc的中点(1)证明：直线mn平面ocd；(2)求异面直线ab与md所成角的大小；(3)求点b到平面ocd的距离解析方法1(综合法)：(1)取ob中点e，连接me，ne，meab，abcd，mecd又neoc，menee，平面mne平面ocd又mn平面mne，mn平面ocd(2)cdab，mdc为异面直线ab与md所成的角(或其补角)作apcd于点p，连接mp，oa平面abcd，cdmp，adp，dp.md，cosmdp，mdcmdp.所以，ab与md所成角的大小为.(3)ab平面ocd，点b和点a到平面ocd的距离相等连接op，过点a作aqop于点q.apcd，oacd，cd平面oap，aqcd又aqop，aq平面ocd，线段aq的长就是点a到平面ocd的距离op，apdp，aq，所以，点b到平面ocd的距离为.方法2(向量法)：作apcd于点p，如图，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系a(0,0,0)，b(1,0,0)，p(0，0)，d(，0)，o(0,0,2)，m(0,0,1)，n(1，0)(1)(1，1)，(0，2)，(，2)设平面ocd的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即，取z，解得n(0,4，)n(1，1)(0,4，)0.又mn平面ocd，mn平面ocd(2)设ab与md所成角为，(1,0,0)，(，1)，cos，.ab与md所成角的大小为.(3)设点b到平面ocd的距离为d，则d为在向量n(0,4，)上的投影的绝对值由(1,0，2)，得d.所以，点b到平面ocd的距离为.8(2014北京理)如图，正方形amde的边长为2，b、c分别为am、md的中点在五棱锥pabcde中，f为棱pe的中点，平面abf与棱pd、pc分别交于点g、h.(1)求证：abfg；(2)若pa底面abcde，且paae，求直线bc与平面abf所成角的大小，并求线段ph的长解析(1)在正方形amde中，因为b是am的中点，所以abde.又因为ab平面pde，所以ab平面pde.因为ab平面abf，且平面abf平面pdefg，所以abfg.(2)因为pa底面abcde，所以paab，paae.如图建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(2,1,0)，p(0,0,2)，f(0,1,1)，(1,1,0)设