高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦学案 新人教B版必修4.doc

31和角公式31.1两角和与差的余弦 学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算知识链接1当，时，cos()cos cos 成立那么当、r时，cos()cos cos 恒成立吗(举例说明)?答不恒成立，如，时2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想cos 45cos 45sin 45sin 451cos_0；cos 60cos 30sin 60sin 30cos 30；cos 30cos 120sin 30sin 1200cos(90)；cos 150cos 210sin 150sin 210cos(60)猜想：cos cos sin sin cos()；即：cos()cos_cos_sin_sin_.预习导引1两角差的余弦公式c：cos()cos_cos_sin_sin_，其中、为任意角2两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以替代就得到两角和的余弦公式即c：cos()cos()cos_cos()sin_sin()cos_cos_sin_sin_.要点一运用公式求值例1计算：(1)cos(15)；(2)cos 15cos 105sin 15sin 105.解(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值跟踪演练1计算：(1)sin 75；(2)sin xsin(xy)cos xcos(xy)解(1)sin 75cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cosx(xy)cos(y)cos y.要点二给值求值例2设cos ()，sin ，其中，求cos .解，sin .cos .cos coscoscossinsin.规律方法三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换其中角的变换是最基本的变换常见的有：()，()，(2)()，等跟踪演练2已知cos ，cos()，且、，求cos 的值解、，(0，)又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .要点三已知三角函数值求角例3已知、均为锐角，且cos ，cos ，求的值解、均为锐角，sin ，sin .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值跟踪演练3已知cos()，cos()，且，求角的值解由，且cos()，得sin().由，且cos()，得sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2，2，则.1cos 78cos 18sin 78sin 18的值为()a. b.c. d.答案a解析cos 78cos 18sin 78sin 18cos(7818)cos 60，故选a.2sin 14cos 16sin 76cos 74的值是()a. b. c d答案b解析sin 14cos 16sin 76cos 74cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 60.3计算：sin 60cos 60_.答案解析原式sin 30sin 60cos 30cos 60cos(6030)cos 30.4已知锐角、满足sin ，cos ，求.解、为锐角且sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .由0，0得00，为锐角，.1.公式c与c都是三角恒等式，既可正用，也可逆用要注意公式的结构特征如：cos cos sin sin cos()2要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解3注意角的拆分技巧的积累，如：()()等一、基础达标1化简cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)得()a. b c. d答案a解析原式cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60).2计算cos 70cos 335sin 110sin 25的结果是()a1 b. c. d.答案b解析原式cos 70cos 25sin 70sin 25cos(7025)cos 45.3若cos()，cos 2，并且、均为锐角且，则的值为()a. b. c. d.答案c解析sin().sin 2，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，(0，)，.4在abc中，若sin asin bcos acos b，则abc一定为()a等边三角形 b直角三角形c锐角三角形 d钝角三角形答案d解析sin asin b0，cos(ab)0即cos(c)0，cos c0，cos c0，0cc，abc为钝角三角形5若sin()，是第二象限角，sin，是第三象限角，则cos()的值是()a b. c. d.答案b解析sin()，sin ，是第二象限角，cos .sin，cos ，是第三象限角，sin .cos()cos cos sin sin .6若cos()，则(sin sin )2(cos cos )2_.答案解析原式22(sin sin cos cos )22cos().7已知cos cos ，sin sin ，求cos()解由cos cos 两边平方得(cos cos )2cos2cos22cos cos .由sin sin 两边平方得(sin sin )2sin2sin22sin sin .得22(cos cos sin sin ).cos cos sin sin ，cos().二、能力提升8将函数ycos xsin x(xr)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()a. b. c. d.答案b解析ycos xsin x2cos，将函数y2cos的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到y2cos，此时关于y轴对称，则mk，kz，所以mk，kz，所以当k0时，m的最小值是，选b.9已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，则cos()的值是_答案解析sin sin sin ，cos cos cos ， 2222(sin sin cos cos )1cos().10若sin sin ，cos cos ，则cos()_.答案11已知：cos(2)，sin(2)，且，0，求cos()解因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2.所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以020，xr)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，0，f(5)，f(5)，求cos cos sin sin 的值；(3)求f(x)的单调递增区间解(