高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（一）学案 苏教版必修4.doc

12任意角的三角函数12.1任意角的三角函数(一)学习目标1.理解任意角的三角函数的定义.2.根据三角函数的定义能够理解其定义域和三角函数值的符号知识链接在初中，我们已经学过锐角三角函数如图，在rtabc中，设a对边为a，b对边为b，c对边为c，锐角a的正弦、余弦、正切分别是什么？答锐角a的正弦、余弦、正切依次为sin a，cos a，tan a预习导引1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点p的坐标是(x，y)它与原点的距离是r(r0)一般地，对任意角(如图)我们规定：(1)比值叫做的正弦，记作sin ，即sin .(2)比值叫做的余弦，记作cos_，即cos .(3)比值(x0)叫做的正切，记作tan_，即tan .2正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号要点一三角函数定义的应用例1已知角的终边在直线y3x上，求10 sin 的值解由题意知，cos 0.设角的终边上任一点为p(k，3k)(k0)，则xk，y3k，r |k|.(1)当k0时，rk，是第四象限角，sin ，10sin 103330.(2)当k0时，rk，为第二象限角，sin ，10sin 103()330.综上所述，10sin 0.规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin ，cos ，tan .跟踪演练1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.答案8解析因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.要点二三角函数值正负的判断例2判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos )(为第二象限角)解(1)3450，cos 40，tan 50.(2)是第二象限角，1cos 0，sin(cos )0)，cos (r0)，tan (x0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点p(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键跟踪演练2已知cos tan 0，那角在第_象限答案三或四解析cos tan 0，或由得角在第三象限由得角在第四象限角在第三或第四象限.1已知角的终边经过点(4,3)，则cos _.答案解析因为角的终边经过点(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .2若点p(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，cos ，则tan _.答案解析cos ，5，y216，y0，则是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且p(x，y)是其终边上一点，则cos .其中正确的为_答案解析只有正确2角的终边经过点p(b,4)且cos ，则b的值为_答案3解析r，cos .b3.3已知终边经过点(3a9，a2)，且sin 0，cos 0，则的取值范围为_答案(2,3解析sin 0，cos 0，位于第二象限或y轴正半轴上，3a90，a20，20时，r10|t|10t.sin ，cos ，sin cos .当t0，则下列正确的是_sin 20；cos 0；sin 0；cos 20.答案解析tan 0，(k，k)(kz)是第一、三象限角sin ，cos 都可正、可负，排除.而2(2k，2k)(kz)，取，则tan 10，而cos 20，故不正确故填.6点p从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达点q，则点q的坐标为_答案解析由题意知：xoq，又|oq|1，由三角函数的定义知：xqcos ，yqsin .所以点q的坐标为(，)7已知角的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴若角的终边过点p(，y)，且sin y(y0)，判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解依题意，点p到原点o的距离为|op|，sin y.y0，93y216，y2，y.角在第二或第三象限当角在第二象限时，y，则cos ，tan ；当角在第三象限时，y，则cos ，tan .二、能力提升8已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_答案解析sin ，cos .角的终边在第四象限，且tan ，角的最小正角为2.9角的终边上一点p的坐标为(4a，3a)(a0)，则2sin cos 的值为_答案解析由题意有x4a，y3a，故r5|a|.(1)当a0时，是第四象限的角，所以sin ，cos ，故2sin cos .(2)当a0时，是第二象限的角，所以sin ，cos ，故2sin cos .10若角的终边与直线y3x重合且sin 0，又p(m，n)是终边上一点，且|op|，则mn_.答案2解析y3x，sin 0，点p(m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0，n3m.|op|m|m.m1，n3，mn2.11已知函数f(x)cos，xr，求f的值解fcoscos1.12判断下列各式的符号：(1)sin 340cos 265；(2)sin 4tan；(3)(为第二象限角)解(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin 3400，cos 2650.(2)4，4是第三象限角，6，是第一象限角sin 40，sin 4tan0.(3)为第二象限角，0sin 1，1cos 0，sin(cos )0，0.三、探究与创新13在平面直角坐标系中，角的终边在直线3x4y0上，求sin 3cos tan 的值解当的