高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量的数乘学案 苏教版必修4.doc

22.3向量的数乘学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识链接1已知非零向量a，作出aaa和(a)(a)(a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？答aaa3a；aaa的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同；(a)(a)(a)3a，(a)(a)(a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反2已知非零向量a，你能说明实数与向量a的乘积a的几何意义吗？答a仍然是一个向量当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当a0时，a0；当0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘2向量数乘的运算律(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.3向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.要点一向量的数乘运算例1化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)2(2a8b)4(4a2b)解(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b.(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.规律方法向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法跟踪演练1若向量a3i4j，b5i4j，则3(2ba)_.答案16ij解析3(2ba)ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)11ij5i4j16ij.要点二用已知向量表示未知向量例2如图所示，已知abcd的边bc，cd上的中点分别为k，l，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解方法一设x，则x，e1x，e1x，又x，由，得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1，由，e1x，得e1e2.方法二设x，y，则x，y.由，得由2得x2xe12e2，x(2e2e1)，同理得y(2e1e2)，即e2e1，e1e2.方法三如图所示，延长bc与al交于点e，则dlacle，从而2，由，得2e2e1，即(2e2e1)e2e1.同理可得(2e1e2)e1e2.规律方法(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如方法三(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题方法一、方法二跟踪演练2如图，abc中，debc交ac于e，bc边上的中线am交de于n，设a，b，用a，b表示向量，.解debc，b，ba.由adeabc，得(ba)又m是abc底边bc的中点，debc，(ba)aa(ba)(ab)adnabm，(ab)要点三共线向量定理的应用例3已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：a，b，d三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有公共点b，a，b，d三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.规律方法(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线跟踪演练3如图所示，已知在abcd中，点m为ab的中点，点n在bd上，且3bnbd.求证：m、n、c三点共线证明设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，又m为公共点m、n、c三点共线1化简：(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2).解(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c6a4b.(2)原式(a4b)(4a2b)(3a6b)2ba.2如图，.求证：.证明，().3设e1，e2是两个不共线的非零向量，如果3e12e2，4e1e2，8e19e2.求证：a，b，d三点共线证明4e1e28e19e212e18e24(3e12e2)4，与共线与有公共点b，a，b，d三点共线4如图，在oadb中，设a，b，.试用a，b表示，及.解由题意知，在oadb中，()(ab)ab，则babab.()(ab)ab，(ab)abab.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题一、基础达标1设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kr)与向量ne22e1共线，则k_.答案解析e1ke2与e22e1共线，则存在实数，使e1ke2(e22e1)由于e1与e2不共线，比较系数得解得k.2设d，e分别是abc的边ab，bc上的点，adab，bebc.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析如图()，则1，2，12.3已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是_答案a、b、d解析2a4b2，a、b、d三点共线4已知abc的三个顶点a，b，c及平面内一点p，且，则下列结论正确的是_p在abc内部；p在abc外部；p在ab边上或其延长线上；p在ac边上答案解析，2，p在ac边上5在abc中，点d在直线cb的延长线上，且4rs，则rs_.答案解析4，3.()r，s，rs.6在平行四边形abcd中，对角线ac与bd交于点o，则_.答案2解析因为四边形abcd为平行四边形，对角线ac与bd交于点o，所以，又o为ac的中点，所以2，所以2，因为，所以2.7如图，abcd为一个四边形，e、f、g、h分别为bd、ab、ac和cd的中点，求证：四边形efgh为平行四边形证明f、g分别是ab、ac的中点.同理，.四边形efgh为平行四边形二、能力提升8已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为_m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.答案解析和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，错误9已知abc和点m满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为_答案3解析0，点m是abc的重心3，m3.10已知o是平面内一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足(0，)，则点p的轨迹一定通过abc的_外心；内心；重心；垂心答案解析为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为bac的角平分线的方向又0，)，的方向与的方向相同而，点p在上移动点p的轨迹一定通过abc的内心11.如图所示，设m，n为abc内的两点，且，则abm的面积与abn的面积之比为_答案23解析如图所示，设，则.由平行四边形法则知，mqab，.同理.12已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a2e1e2，bke1e2，若a与b是共线向量，求实数k的值解a与b是共线向量，ab，2e1e2(ke1e2)ke1e2，k2.三、探究与创新13已知向量a2e13e2，b2e13e2，c2