高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 6.3曲线的交点 苏教版选修21.doc

2.6.3曲线的交点课时目标1.会求两条曲线的交点.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.能解决有关直线与圆锥曲线的综合问题1直线与圆锥曲线的位置关系设直线l的方程为axbyc0，圆锥曲线m的方程为f(x，y)0，则由可得(消y)ax2bxc0 (a0)位置关系交点个数方程相交0相切0相离0，直线l与圆锥曲线有两个不同交点0，直线l与圆锥曲线有唯一的公共点0，x1x21，x1x2b3.ab的中点c在xy0上：即b0解得b1符合0，弦长ab3.53x4y50解析这条弦的两端点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，斜率为k，则两式相减再变形得(y1y2)(y1y2)，又弦中点为m(3，1)，故k.故这条弦所在的直线方程为y1(x3)，即3x4y50.6.解析由得4x28x10，x1x22，x1x2.所得弦长为|x1x2|.7.解析由题意可知，点p既在椭圆上又在双曲线上，根据椭圆和双曲线的定义，可得又f1f22c4，cosf1pf2.8直角三角形解析由得k2x2(2k21)xk20，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x2y1y2x1x2k2(x11)(x21)1k2(11)0，0，oaob，所以aob是直角三角形9解(1)依题意得方程组把代入，得2xx22xm，即x24xm0.因为抛物线与直线有两个公共点，所以424(m)0，m4.(2)设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，根据(1)中x24xm0，得x1x24，x1x2m，所以ab2.10解方法一如图所示，设所求直线的方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个根，x1x2.p为弦ab的中点，2，解得k，所求直线的方程为x2y40.方法二设直线与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，p为弦ab的中点，x1x24，y1y22.又a、b两点在椭圆上，x4y16，x4y16.两式相减，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kab.直线方程为y1(x2)，即x2y40.方法三设所求直线与椭圆的一个交点为a(x，y)，另一个交点为b(4x,2y)，a、b两点在椭圆上，x24y216，(4x)24(2y)216.从而a、b在方程所得直线x2y40上，由于过a、b的直线只有一条，所求直线的方程为x2y40.1112，3解析曲线方程可化简为(x2)2(y3)24 (1y3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线yxb距离等于2，解得b12或b12，因为是下半圆，故可得b12(舍)，当直线过(0,3)时，解得b3，故12b3.12(1)证明如图所示，设a(x1,2x)，b(x2,2x)，把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，由韦达定理得x1x2，x1x21，xnxm，n点的坐标为.设抛物线在点n处的切线l的方程为ym，将y2x2代入上式得2x2mx0.直线l与抛物线c相切，m28m22mkk2(mk)20，mk，即lab.故抛物线c在点n处的切线与ab平行(2)解假设存在实数k，使0，则nanb.又m是ab的中点，mnab.由(1)知y