高中数学 第三章 导数应用综合测试 北师大版选修22.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 导数应用综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列函数存在极值的是()ay2xbycy3x1 dyx2答案d解析画出图像即可知yx2存在极值f(0)0.2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()ay2x1 by2x1cy2x3 dy2x2答案a解析y，ky|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.3已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 bf(x)0，g(x)0cf(x)0 df(x)0，g(x)0时，f(x)是增函数，g(x)是增函数，x0，g(x)0.4对任意的xr，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()a0a21 ba0或a7ca21 da0或a21答案a解析f(x)3x22ax7a当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点5如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列结论正确的是()a在区间(3,1)内f(x)是增函数b在区间(1,2)内f(x)是减函数c在区间(4,5)内f(x)是增函数d当x2时，f(x)取极小值答案c解析由题中图象可知，当x(4,5)时，f(x)0，f(x)在(4,5)内为增函数6若函数yf(x)是定义在r上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案b解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点7设函数f(x)lnx，则()ax为f(x)的极大值点bx为f(x)的极小值点cx2为f(x)的极大值点dx2为f(x)的极小值点答案d解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题f(x)(1)0可得x2.当0x2时，f(x)2时f(x)0，f(x)单调递增所以x2为极小值点对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域8(2014武汉实验中学高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如下图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()答案a解析f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化规律是减增减，因此f (x)的图象在(，0)上，f (x)0，在(0，)上f (x)的符号变化规律是负正负，故选a9函数f(x)sinx2xf()，f(x)为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()af(a)f(b) bf(a)f(b)cf(a)f(b) df(|a|)f(b)答案a解析f(x)cosx2f( )，f()cos2f()，即f().f(x)sinxx.又f(x)cosx10，故f(x)在r上递减又f(log32)，即f(a)f(b)10.(2015新课标，12)设函数f(x)是奇函数f(x)(xr)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()a(，1)(0,1)b(1,0)(1，)c(，1)(1,0)d(0,1)(1，)答案a解析记函数g(x)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)单调递减；又因为函数f(x)(xr)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选a二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2014湖北重点中学高二期中联考)已知函数f(x)ax3ax22ax2a1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f (x)ax2ax2aa(x1)(x2)，由f(x)的图象经过四个象限知，若a0，则此时无解；若a0，则a，综上知，a.12函数yxex的最小值为_答案解析y(x1)ex0，x1.当x1时，y1时y0yminf(1)13若函数f(x)(a0)在1，上的最大值为，则a的值为_答案1解析f(x).当x时f(x)0，f(x)在(，)上是递减的，当x0，f(x)在(，)上是递增的当x时，f()，1，不合题意f(x)maxf(1)，解得a1.14一工厂生产某型号车床，年产量为n台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为c2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)设每年每台的库存费为c1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_台，一年中库存费和生产准备费之和最小答案解析设每批生产x台，则一年生产批一年中库存费和生产准备费之和yc1x(0xn)yc1.由y0及0xn，解得x(台)根据问题的实际意义，y的最小值是存在的，且y0有唯一解故x台是使费用最小的每批生产台数15.(2014泉州实验中学期中)已知函数f(x)x33x，若过点a(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_答案(3，2)解析f (x)3x23，设切点为p(x0，y0)，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，切线经过点a(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，当0x01时，此函数单调递增，当x01时，此函数单调递减，当x00时，m3，当x01时，m2，当3m0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以应有2a4，解得6a3.17.求证：x0时，12x0时，e2x1，f(x)2(1e2x)0时，f(x)0时，12xe2x0，即12x0，f(x)在(0，)递增令g(x)ax22(a1)xa4(a1)24a28a42当a0时，0，此时g(x)0的两根x1，x2a0，x10，x20，x(0，)，f(x)0故f(x)在(0，)递增3当a0，即a0，x20令f(x)0，x(x1，x2)，f(x)0，x(0，x1)(x2，)f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)上递减综上所述：当a0时，f(x)在(0，)递增当a0时，f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)递减(其中x1，x2)当a时，f(x)在(0，)递减19已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长分析如图，设出ad的长，进而求出|ab|表示出面积s，然后利用导数求最值解析设矩形边长为ad2x，则|ab|y4x2，则矩形面积s2x(4x2)(0x2)，即s8x2x3，s86x2，令s0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x2时，s0，当x时，s取得最大值，此时，s最大，y.即矩形的边长分别为、时，矩形的面积最大点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长20(2014重庆文，19)已知函数f(x)lnx，其中ar，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由导数的几何意义，且切线与yx垂直得f(1)a12，a.(2)由(1)知f(x)lnx，f(x).令f(x)0解得x1或5，1不在定义域之内故舍去当x(0,5)，f(x)0，f(x)在(5，)递增f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0,5)f(x)在x5时取极小值f(5)ln5ln5.21.设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f (x)x10，求k的最大值分析(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f (x)，因不确定a的正负，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f (x)的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)exa若a0，则f (x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(，lna)时，f (x)0，所以f(x)在(，lna)单调递减，在(lna，)单调递增综上，a0时f(x)增区间(，)a0时f(x)增区间(lna，)，减区间(，lna)(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f (x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零