高中数学 第二章 空间向量与立体几何检测题（B）北师大版选修21.doc

第二章空间向量与立体几何检测题b时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法中不正确的是()a平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量b一个平面的所有法向量互相平行c如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直d如果a、b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量答案d解析只有当a、b不共线且a，b时，d才正确2已知a(2，4，1)，b(1,5,1)，c(3，4,1)，令a，b，则ab对应的点为()a(5，9,2)b(5,9，2)c(5,9，2)d(5，9，2)答案b解析(1,0，2)，(4,9,0)，故ab(5,9，2)3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()a2，b，c3,2d2,2答案a解析因为ab，所以存在实数k，使bka，即(6,21,2)(kk,0,2k)所以所以或故选a4(2014清华附中月考)已知a，b是两异面直线，a，ba，c，db，acb，bdb且ab2，cd1，则直线a，b所成的角为()a30b60c90d45答案b解析由于，()21.cos，60，故选b5已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos) ，且a b则向量ab与ab的夹角是()a90b60c30d0答案a解析|a|22，|b|22，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)6已知正方体abcda1b1c1d1的中心为o，则下列各结论中不正确的是()a与是一对相反向量b与是一对相反向量c与是一对相反向量d与是一对相反向量答案b解析，由图知与是一对相等向量7如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g，h分别为aa1，ab，bb1，b1c1的中点，则异面直线ef与gh所成的角等于()a45b60c90d120答案b解析连接a1b，bc1，a1c1，如图，则a1bbc1a1c1，且efa1b，ghbc1，所以异面直线ef与gh所成的角等于60，选b8如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点e、f、g分别是ab、ad、dc的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()a2b2c2d2答案b解析222a2cos60a2，222a2cos60a2，2a2,2a2.9正方形abcd所在平面外一点p，pa平面abcd，若paab，则平面pab与平面pcd所成的角的度数为()a30b45c60d90答案b解析以ab、ad、ap分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设pa1，则d(0,1,0)，c(1,1,0)，p(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0,0)，设平面pcd的法向量n(x，y，z)，由，得，令z1，则n(0,1,1)，显然平面pab的一个法向量e(0,1,0)，cosn，e，n，e45，二面角大小为45.10如下图，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab，af1.m在ef上，且am平面bde.则m点的坐标为()a(1,1,1)bcd答案c解析m在ef上，设mex，m，a(，0)，d(，0,0)，e(0,0,1)，b(0，0)，(，0，1)，(0，1)，.设平面bde的法向量n(a，b，c)，由，得.故可取一个法向量n(1,1，)，有n0，x1，m，故选c简解：设ac、bd相交于o连oe，am平面bde，amoe，m为ef的中点，又e(0,0,1)，f(，1)，m(，1)，故选c二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11已知向量a(0,2,1)，b(1,1，2)，则a与b的夹角为_答案解析ab0220，ab，a与b的夹角为.12已知a(1,2,0)，b(0,1，1)，p是x轴上的动点，当取最小值时，点p的坐标为_答案(，0,0)解析设p(x,0,0)，则(x1，2,0)，(x，1,1)，x(x1)2(x)2，当x时，取最小值，此时点p的坐标为(，0,0)13已知空间三点a(1,1,1)、b(1,0,4)、c(2，2,3)，则与的夹角的大小是_答案120解析(2，1,3)，(1,3，2)，cos，120.14如图，在正方体abcda1b1c1d1中，o是上底面a1b1c1d1的中心，则oc与bc1所成角的余弦值为_答案解析以d为坐标原点，以da、dc、dd1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则o(，1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，所以(，1)，(1,0,1)，所以cos，.oc与bc1所成角的余弦值为.15已知a(1,1,0)，b(1,2,1)，c(0,0,2)，则原点o到平面abc的距离为_答案解析设过o与平面abc垂直的向量为，则，(0,1,1)，(1，1,2)，又设(x，y，z)，则，令z1，则(3，1,1)，又(1,1,0)，d.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知空间三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解析a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ，a与b的夹角的余弦值为.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，k或k2.17如图所示，平行六面体oabcoabc，且a，b，c(1)用a，b，c表示向量，.(2)设g、h分别是侧面bbcc和oabc的中心，用a，b，c表示.解析(1)abcbca(2)()()(abcb)(abcc)(cb)18如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是bb1、d1b1的中点求证：ef平面b1ac证明方法一：建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，c(0,2,0)，b1(2,2,2)，e(2,2,1)，f(1,1,2)(1，1,1)，(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)而1012120，1(2)12100，且.efab1，efac又ab1acaef平面b1ac方法二：(上同方法一)设平面b1ac的法向量为n(x，y，z)，则n0且n0，即，令y1，则x1，z1.n(1,1，1)，n.ef面b1ac19(2014福建理)在平行四边形abcd中，abbdcd1，abbd，cdbd将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图(1)求证：abcd；(2)若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值解析(1)平面abd平面bcd，平面bcd平面bcdbd，ab平面abd，abbd，ab平面bcd又cd平面bcd，abcd(2)过点b在平面bcd内作bebd，如图由(1)知ab平面bcd，be平面bcd、bd平面bcd，abbe，abbd以b为坐标原点分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意得b(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，a(0,0,1)，m(0，)则(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)，设平面mbc的法向量n(x0，y0，z0)则即取z01得平面mbc的一个法向量n(1，1,1)设直线ad与平面mbc所成的角为，则sin|cosn，|即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为.20如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积解析解法1：如图(1)，以a为坐标原点，ab、ad、ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设pah，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,3,0)，d(0,5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)由题设和(1)知，分别是平面pae，平面abcd的法向量而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即|.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故|.解得h.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.21(2015天津理，17)如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abac，ab1，acaa12，adcd，且点m和n分别为b1c和d1d的中点()求证：mn平面abcd；()求二面角d1acb1的正弦值；()设e为棱a1b1上的点若直线ne和平面abcd所成角的正弦值为，求线段a1e的长解析以a为原点建立空间直角坐标系()求出直线mn的方向向量与平面abcd的法向量，两个向量的乘积等于0即可；()求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；() 设，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出a1e的长解：如图，以a为原点建立空间直角坐标系，依题意可得a(0,0,0)，b(0,1,0)，c(2,0,0)，d(1，2,0)，a1(0,0,2)，b1(0,1,2)，c1(2,0,2)，d1(1，2,2)，又因为m，n分别为b1c和d1d的中点，得 m，n(1，2,1)()依题意，可得n(0,0,1)为平面abcd的一个法向量，由此可得，n0，又因为直线mn平面abcd，所以mn平面abcd ()(1，2,2)，(2,0,0)，设n1(x1，y1，z1)为平面acd1的法向量，则 即不妨