高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合检测题 新人教A版必修2.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合检测题 新人教a版必修2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1长方体abcda1b1c1d1中，异面直线ab，a1d1所成的角等于()a30 b45c60 d90答案d解析由于ada1d1，则bad是异面直线ab，a1d1所成的角，很明显bad90.2已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()a平行 b相交c垂直 d异面答案c解析1直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，a错；2l时，在内不存在直线与l异面，d错；3l时，在内不存在直线与l相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直3下列命题中，错误的是()a一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交b平行于同一平面的两个不同平面平行c若直线l不平行于平面，则在平面内不存在与l平行的直线d如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面答案c解析直线l不平行于平面，可能直线l在平面内，此时，在平面内存在与l平行的直线4已知、是两个平面，直线l，l，若以l；l；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有()a；b；c；d；答案a解析因为，所以在内找到一条直线m，使m，又因为l，所以lm.又因为l，所以l，即；因为l，所以过l可作一平面n，所以ln，又因为l，所以n，又因为n，所以，即.5对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()aa，b ba，bca，b da，b答案b解析因为已知两条不相交的空间直线a和b.所以可以在直线a上任取一点a，则ab.过a作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b.6设直线l平面，过平面外一点a与l，都成30角的直线有()a1条 b2条c3条 d4条答案b解析如图，和成30角的直线一定是以a为顶点的圆锥的母线所在直线，当abcacb30且bcl时，直线ac，ab都满足条件，故选b7如图，a是平面bcd外一点，e、f、g分别是bd、dc、ca的中点，设过这三点的平面为，则在图中的6条直线ab、ac、ad、bc、cd、db中，与平面平行的直线有()a0条 b1条c2条 d3条答案c解析显然ab与平面相交，且交点是ab中点，ab，ac，db，dc四条直线均与平面相交在bcd中，由已知得efbc，又ef，bc，bc.同理，ad，在题图中的6条直线中，与平面平行的直线有2条，故选c8已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc内的射影为abc的中心o，则ab1与底面abc所成角的正弦值为()a bc d答案b解析由题意知三棱锥a1abc为正四面体，设棱长为a，则ab1a，棱柱的高a1oa(即点b1到底面abc的距离)，故ab1与底面abc所成角的正弦值为.9等腰rtabc中，abbc1，m为ac的中点，沿bm把它折成二面角，折后a与c的距离为1，则二面角cbma的大小为()a30 b60c90 d120答案c解析如图，由abbc1，abc90知ac.m为ac的中点，mcam，且cmbm，ambm，cma为二面角cbma的平面角ac1，mcma，mc2ma2ac2，cma90，故选c10如图，l，a，b，a，b到l的距离分别是a和b，ab与，所成的角分别是和，ab在，内的射影长分别是m和n，若ab，则()a，mn b，mnc，mn d，mn答案d解析由勾股定理得a2n2b2m2ab2.又ab，mn.由已知得sin，sin，而ab，sinsin，又，(0，)，.11如图，在三棱柱abcabc中，点e，f，h，k分别为ac，cb，ab，bc的中点，g为abc的重心，从k，h，g，b中取一点作为p，使得该三棱柱恰有2条棱与平面pef平行，则点p为()ak bhcg db答案c解析应用验证法：选g点为p时，efab且efab，此时恰有ab和ab平行于平面pef，故选c12如图，四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，构成四面体abcd，则在四面体abcd中，下列结论正确的是()a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abc答案d解析由平面图形易知bdc90.平面abd平面bcd，cdbd，cd平面abdcdab又abad，cdadd，ab平面adc又ab平面abc，平面adc平面abc二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13直线l与平面所成角为30，la，m，am，则m与l所成角的取值范围是_.答案30，90解析直线l与平面所成的30的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到lm，即m与l所成角的最大值为90.14如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是棱aa1和ab上的点，若b1mn是直角，则c1mn等于_.答案90解析因为c1b1平面abb1a1，mn平面abb1a1，所以c1b1mn.又因为mnmb1，mb1，c1b1平面c1mb1，mb1c1b1b1，所以mn平面c1mb1，所以mnc1m，所以c1mn90.15如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案dmpc(或bmpc)解析连接ac，则bdac，由pa底面abcd，可知bdpa，bd平面pac，bdpc故当dmpc(或bmpc)时，平面mbd平面pcd16(2013高考安徽卷)如图正方体abcda1b1c1d1，棱长为1，p为bc中点，q为线段cc1上的动点，过a、p、q的平面截该正方体所得的截面记为s，则下列命题正确的是_.(写出所有正确命题的编号)当0cq时，s为四边形当cq时，s为等腰梯形当cq时，s与c1d1交点r满足c1r1当cq1时，s为六边形当cq1时，s的面积为.答案解析设截面与dd1相交于t，则atpq，且at2pqdt2cq.对于，当0cq时，则0dt1，所以截面s为四边形，且s为梯形，所以为真对于，当cq时，dt1，t与d重合，截面s为四边形apqd1，所以apd1q，截面为等腰梯形，所以为真对于，当cq，qc1，dt，d1t，利用三角形相似解得，c1r1，所以为真对于，当cq1时，dt2，截面s与线段a1d1，d1c1相交，所以四边形s为五边形，所以为假对于，当cq1时，q与c1重合，截面s与线段a1d1相交于中点g，即即为菱形apc1g，对角线长度为和，s的面积为，所以为真，综上，选.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2014全国高考江苏卷)如图，在三棱锥pabc中，d、e、f分别为棱pc、ac、ab的中点，已知paac，pa6，bc8，df5.求证：(1)直线pa面def；(2)平面bde平面abc证明(1)在pac中，d、e分别为pc、ac中点，则pade，pa面def，de面def，因此pa面def.(2)def中，depa3，efbc4，df5，df2de2ef2，deef，又paac，deacde面abc，面bde面abc18(本小题满分12分)如下图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14，点d是ab的中点(1)求证：acbc1；(2)求证：ac1平面cdb1；(3)求异面直线ac1与b1c所成角的余弦值解析(1)证明：在直三棱柱abca1b1c1中，底面三边长ac3，bc4，ab5，acbc又c1cacac平面bcc1b1.bc1平面bcc1b，acbc1.(2)证明：设cb1与c1b的交点为e，连接de，又四边形bcc1b1为正方形d是ab的中点，e是bc1的中点，deac1.de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1平面cdb1.(3)解：deac1，ced为ac1与b1c所成的角在ced中，edac1，cdab，cecb12，cosced.异面直线ac1与b1c所成角的余弦值为.19(本小题满分12分)(2013四川文科)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abac2aa12，bac120，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad上异于端点的点(1)在平面abc内，试作出过点p与平面 a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面add1a1；(2)设(1)中的直线l交ac于点q，求三棱锥a1qc1d的体积(锥体体积公式：vsh，其中s为底面面积，h为高)解析(1)在平面abc内，过点p作直线l和bc平行理由如下：由于直线l不在平面a1bc内，lbc，故直线l与平面a1bc平行在abc中，abac，d是线段ac的中点，adbc，lad又aa1底面abc，aa1l.而aa1ada，直线l平面add1a1.(2)过点d作deac于点e.侧棱aa1底面abc，三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，则易得de平面aa1c1c在rtacd中，ac2，cad60，adaccos601，deadsin60.sqa1c1a1c1aa1211，三棱锥a1qc1d的体积va1qc1dvdqa1c1sqa1c1de1.20(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积解析(1)证明：如下图所示，连接ac，由ab4，bc3，abc90，得ac5.又ad5，e是cd的中点，所以cdae.pa平面abcd，cd平面abcd，所以pacd而pa，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)过点b作bgcd，分别与ae，ad相交于f，g，连接pf.由(1)cd平面pae知，bg平面pae.于是bpf为直线pb与平面pae所成的角，且bgae.由pa平面abcd知，pba为直线pb与平面abcd所成的角由题意，知pbabpf，因为sinpba，sinbpf，所以pabf.由dababc90知，adbc，又bgcd，所以四边形bcdg是平行四边形，故gdbc3.于是ag2.在rtbag中，ab4，ag2，bgaf，所以bg2，bf.于是pabf.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.21(2015安徽卷)如图，三棱锥pabc中，pa平面abc，pa1，ab1，ac2，bac60，(1)求三棱锥pabc的体积；(2)证明：在线段pc上存在点m，使得acbm，并求的值答案(1)；(2)分析(1)在abc中sabc.又pn面abc，pa是三棱锥pabc的高，根据锥体的体积公式即可求出结果；(2)过点b作bn垂直ac于点n，过n作mnpa交pc于m，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此m点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果解析(1)在abc中，ab1，ac2，bac60sabcabacsinbac12sin60.又pa面abc，pa是三棱锥pabc的高，v三棱锥pabcpasabc1.(2)过点b作bn垂直ac于点n，过n作nmpa交pc于m，则acbm，此时m即为所找点，在abn中，易知an.22(本小题满分12分)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，已知ab3，ad2，pa2，pd2，pab60.(1)求证：ad平面pab；(2)求异面直线pc与ad所成的角的正切值；(3)求二面角pbda的正切值解析(1)证明：在pad中，pa2，ad2，pd2，pa2ad2pd2，adpa在矩形abcd中，adabpaaba，ad平面pab(2)bcad，pcb是异面直线pc与ad所成的角在pab中，由余弦定理得pb.由(1)知ad平面pab，pb平面pab，adpb