高中数学 第二章 圆锥曲线与方程测评A 新人教A版选修21.doc

【优化设计】2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程测评a 新人教a版选修2-1 (基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.双曲线x2-=1(b0)的一条渐近线方程为y=2x,则b的值为()a.4b.2c.1d.解析:由双曲线方程为x2-=1(b0),得渐近线y=bx,则b=2.答案:b2.椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()a.b.c.2d.4解析:椭圆方程化为=1,依题意有1=2,解得m=.答案:a3.抛物线y2=-ax的准线方程为x=-2,则a的值为()a.4b.-4c.8d.-8解析:因为抛物线准线方程为x=-2,所以焦点在x轴正半轴上,从而-a0,且-=2,得a=-8.答案:d4.等轴双曲线c的中心在原点,焦点在x轴上,c与抛物线y2=16x的准线交于a,b两点,|ab|=4,则c的实轴长为()a.b.2c.4d.8解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m0),抛物线的准线为x=-4.由|ab|=4,得|ya|=2.把坐标(-4,2)代入双曲线方程,得m=x2-y2=16-12=4.所以双曲线方程为x2-y2=4,即=1.所以a2=4,a=2.所以实轴长2a=4,故选c.答案:c5.已知实数4,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()a.b.c.d.或7解析:因为4,m,9成等比数列,所以m2=36.所以m=6.当m=6时,圆锥曲线为椭圆+y2=1,其离心率为;当m=-6时,圆锥曲线为双曲线y2-=1,其离心率为.故选c.答案:c6.已知f是抛物线y=x2的焦点,p是该抛物线上的动点,则线段pf中点的轨迹方程是()a.x2=2y-1b.x2=2y-c.x2=y-d.x2=2y-2解析:设p(x0,y0),pf的中点为m(x,y),则y0=.又f(0,1),则代入y0=,得2y-1=(2x)2,化简得x2=2y-1,故选a.答案:a7.设抛物线y2=8x的焦点为f,准线为l,p为抛物线上一点,pal,点a为垂足,如果直线af的斜率为-,那么|pf|的值为()a.16b.8c.4d.8解析:设l与x轴交于点b.af的斜率为-,afb=60,fap=60.由y2=8x得|fb|=4,|af|=8.又由抛物线定义得|ap|=|pf|,apf为等边三角形,|pf|=8.答案:d8.双曲线=1(a,b0)的一条渐近线平分圆c:(x-1)2+(y-2)2=1的周长,此双曲线的离心率等于()a.b.2c.d.解析:由题意,双曲线=1(a,b0)的一条斜率为正的渐近线y=x经过圆c:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心c(1,2),代入得2=,所以b=2a.则b2=4a2,即c2-a2=4a2,得=5,故离心率e=.答案:a9.若f1,f2是椭圆+y2=1的左、右焦点,点p在椭圆上运动,则|的最大值是()a.4b.5c.2d.1解析:依题意a2=4,b2=1,c=,则f1(-,0),f2(,0).设p(x,y),则=(-x,-y),=(-x,-y).=x2-3+y2=x2-3+1-x2=x2-2,因为点p在椭圆上,所以-2x2,故-2x2-21,故|=0,2,即|的最大值是2.答案:c10.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()a.3b.2c.d.解析:设弦的端点为a(x1,y1),b(x2,y2),则+2=4,+2=4,=-2(),此弦的斜率k=-=-.此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+.代入x2+2y2=4,整理,得3x2-6x+1=0,x1x2=,x1+x2=2.|ab|=.答案:c二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若点在抛物线y2=2px(p0)上,则该抛物线的焦点坐标为.解析:依题意有()2=2p,所以2p=9.从而,其焦点坐标为.答案:12.若方程=1表示双曲线,则实数k的取值范围是.解析:依题意应有k(k-2)0,解得0kb0)的两个焦点,p为椭圆上的一个动点,若pf1f2的周长为12,离心率e=,则此椭圆的标准方程为.解析:由于pf1f2的周长为2a+2c=12,椭圆的离心率e=,故a=4,c=2,b2=12.椭圆的标准方程为=1.答案:=114.过抛物线y2=2px(p0)的焦点f作倾斜角为45的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的长为8,则p=.解析:抛物线的焦点为f,设直线方程为y=x-.由得x2-3px+=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=3p.因此|ab|=x1+x2+p=3p+p=8,从而p=2.答案:215.设f1,f2是双曲线c:=1(a0,b0)的左、右焦点,p是c上一点,若|pf1|+|pf2|=6a,且pf1f2的最小内角为30,则c的离心率为.解析:设p点在双曲线的右支上,m=|pf1|,n=|pf2|,则解得m=4a,n=2a,由题知,在pf1f2中,pf1f2=30.由余弦定理,得cos 30=,所以e=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知双曲线与椭圆=1有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为,求双曲线的方程.解:椭圆=1的焦点为(0,),离心率为e1=.由题意可知双曲线的两焦点为(0,),离心率e2=,所以双曲线的实轴长为6.若设双曲线方程为=1(a0,b0),于是2a=6,因此a=3,c=,b2=4,故双曲线方程为=1.17.(6分)在平面直角坐标系中,抛物线c的顶点在原点,经过点a(2,2),其焦点f在x轴上(如图所示).(1)求抛物线c的方程;(2)直线l过点(0,2)与抛物线c交于m,n两点,以线段mn的长度为直径的圆过坐标原点o,求直线l的方程.解:(1)由题意,可设抛物线c的方程为y2=2px(p0).a(2,2)在抛物线上,4=2p2,p=1.因此,抛物线c的方程为y2=2x.(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0,设为k(k0),则直线l的方程为y=kx+2,由消去x,得ky2-2y+4=0,=4-16k0kb0)的左焦点为f1(-1,0),且点p(0,1)在c1上.(1)求椭圆c1的方程;(2)设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)因为椭圆c1的左焦点为f1(-1,0),所以c=1.将点p(0,1)代入椭圆方程=1,得=1,即b=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆c1的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m.由消去y并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l与椭圆c1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得2k2-m2+1=0.由消去y并整理,得k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线c2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理,得km=1.综合,解得所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.19.(7分)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,长轴长为4,直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点a,b.(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)若直线l不经过椭圆上的点m(4,1),求证:直线ma,mb的斜率互为相反数.(1)解:由题意知,2a=4,所以a=2.由e=,解得c=.又b2=a2-c2=