高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值课件 理.ppt

理数课标版 第三节导数与函数的极值 最值 1 函数的极值与导数 1 函数的极小值若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 f x 0 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 教材研读 2 函数的极大值若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 注 极大值和 极小值统称为极值 2 函数的最值与导数一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求函数y f x 在 a b 内的 极值 2 将函数y f x 的各极值与 端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 注 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的极大值不一定比极小值大 2 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 3 函数的极大值一定是函数的最大值 4 开区间上的单调连续函数无最值 1 2016四川 6 5分 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 答案d由题意可得f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 则f x f x 随x的变化情况如下表 函数f x 在x 2处取得极小值 则a 2 故选d 2 设函数f x lnx 则 a x 为f x 的极大值点b x 为f x 的极小值点c x 2为f x 的极大值点d x 2为f x 的极小值点答案df x lnx x 0 f x 当x 2时 f x 0 此时f x 为增函数 当0 x 2时 f x 0 此时f x 为减函数 据此知x 2为f x 的极小值点 3 函数y xex的最小值是 a 1b ec d 不存在答案c y xex y ex xex 1 x ex 当x 1时 y 0 当x 1时 y 0 当x 1时函数取得最小值 且ymin 故选c 4 函数f x x alnx a 0 的极小值为 答案a alna解析f x 的定义域为 0 易知f x 1 由f x 0 解得x a a 0 又当x 0 a 时 f x 0 函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 考点一运用导数解决函数的极值问题命题角度一求已知函数的极值 典例1 2017成都双流中学月考 设a 0 函数f x x2 a 1 x a 1 lnx 求函数f x 的极值 解析f x 的定义域为 0 f x x a 1 当00 函数f x 单调递增 若x a 1 则f x 0 函数f x 单调递增 此时x a是f x 的极大值点 x 1是f x 的极小值点 函数f x 的极大值是f a a2 alna 极小值是f 1 考点突破 当a 1时 f x 0 所以函数f x 在定义域 0 内单调递增 此时f x 没有极值点 故无极值 当a 1时 若x 0 1 则f x 0 函数f x 单调递增 若x 1 a 则f x 0 函数f x 单调递增 此时x 1是f x 的极大值点 x a是f x 的极小值点 函数f x 的极大值是f 1 极小值是f a a2 alna 综上 当01时 f x 的极大值是 极小值是 a2 alna 命题角度二已知函数的极值情况求参数的值或范围典例2已知函数f x 1 求函数f x 的单调区间 2 设g x xf x ax 1 若g x 在 0 上存在极值点 求实数a的取值范围 解析 1 f x x 0 0 f x 当f x 0时 x 1 f x 与f x 随x的变化情况如下表 故f x 的增区间为 1 减区间为 0 和 0 1 2 易得g x ex ax 1 g x ex a 当a 1时 在 0 上 g x ex a 0 即g x 在 0 上递增 此时g x 在 0 上无极值点 当a 1时 令g x ex a 0 得x lna 令g x ex a 0 得x lna 令g x ex a1 方法技巧1 利用导数研究函数极值问题的一般流程 2 已知函数极值点和极值求参数的两个要领 1 列式 根据极值点处导数为0和极值列方程组 利用待定系数法求解 2 验证 因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 1 1已知函数f x x3 ax2 bx a2 7a在x 1处取得极大值10 则的值为 a b 2c 2或 d 不存在 答案c f x x3 ax2 bx a2 7a f x 3x2 2ax b 由题意知f 1 3 2a b 0 b 3 2a 又f 1 1 a b a2 7a 10 将 代入 整理得a2 8a 12 0 解得a 2或a 6 当a 2时 b 1 当a 6时 b 9 2或 故选c 1 2 2016河北石家庄一模 已知函数f x ex 3x 3a e为自然对数的底数 a r 求f x 的单调区间与极值 解析由f x ex 3x 3a知 f x ex 3 令f x 0 得x ln3 于是当x变化时 f x 和f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln3 单调递增区间是 ln3 f x 在x ln3处取得极小值 极小值为f ln3 3ln3 3a 3 1 ln3 a 考点二运用导数解决函数的最值问题典例3已知函数f x x2eax 其中a 0 e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 2 求函数f x 在区间 0 1 上的最大值 解析 1 f x 2xeax x2aeax x ax 2 eax 当a 0时 由f x 0得x 0 由f x 0得0 故函数f x 在上单调递增 在 0 与上单调递减 2 当a 0时 f x 在区间 0 1 上单调递增 其最大值为f 1 1 当 21 f x 在区间 0 1 上单调递增 其最大值是f 1 ea 当a 2时 0 1 x 是函数f x 在区间 0 1 上唯一的极大值点 也就是最大值点 此时函数f x 的最大值是f 综上得当 2 a 0时 f x 在 0 1 上的最大值是ea 当a 2时 f x 在 0 1 上的最大值为 规律总结求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 1 2016湖北七市 州 协作体联考 设n n a b r 函数f x b 已知曲线y f x 在点 1 0 处的切线方程为y x 1 1 求a b 2 求f x 的最大值 解析 1 f x 的定义域为 0 f x f 1 a 又切线斜率为1 故a 1 由曲线y f x 过点 1 0 有f 1 b 0 故a 1 b 0 2 由 1 知f x f x 令f x 0 得1 nlnx 0 解得x 当00 得f x 在 0 上是增函数 当x 时 有f x 0 得f x 在 上是减函数 故f x 在x 处取得最大值f 考点三函数极值与最值的综合应用典例4已知函数f x a 0 的导函数y f x 的两个零点为 3和0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 的极小值为 e3 求f x 的极大值及f x 在区间 5 上的最大值 解析 1 f x 令g x ax2 2a b x b c 因为ex 0 所以y f x 的零点就是g x ax2 2a b x b c的零点 且f x 与g x 符号相同 因为a 0 所以由题意知 当 30 即f x 0 当x0时 g x 0 即f x 0 所以f x 的单调增区间是 3 0 单调减区间是 3 0 2 由 1 知 x 3是f x 的极小值点 所以有 e3 结合g 0 b c 0 g 3 9a 3 2a b b c 0 解得a 1 b 5 c 5 所以f x 因为f x 的单调增区间是 3 0 单调减区间是 3 0 所以f 0 5为函数f x 的极大值 且f x 在区间 5 上的最大值为f 5 和f 0 中的最大者 而f 5 5e5 5 f 0 所以函数f x 在区间 5 上的最大值是5e5 方法技巧解决函数极值 最值问题的策略 1 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要讨论参数的大小 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值就是最值 要通过比较才能下结论 即函数在给定闭区间上存在极值 一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 3 1 2016云南统一检测 已知常数a 0 f x alnx 2x 1 当a 4时 求f x 的极值 2 当f x 的最小值不小于 a时 求实数a的取值范围 解析 1 由已知得f x 的定义域为 0 f x 2 当a 4时 f x 当02时 f x 0 即f x 单调递增 f x 只有极小值 且在x 2时 f x 取得极小值f