第2讲插值法与曲线拟合(0916).ppt

简明数值计算方法 漳州师范学院计算机科学与工程系 第二讲插值法与曲线拟合 主要内容 插值法拉格朗日插值差商与差分牛顿插值公式逐次线性插值法三次样条插值曲线拟合曲线拟合的最小二乘法 2 1插值法 在实际问题中 我们会遇到两种情况变量间存在函数关系 但只能给出一离散点列上的值例如 从实验中得到一个数据表 或是一组观测数据变量间的函数关系可以表示 但计算复杂 只能计算特殊点的函数值例如 求指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数值等为了研究自变量与因变量间的变化关系 我们需要建立变量间的函数关系 从而可以计算原始数据以外需要处的值 这就是我们研究插值的目的 2 1插值法 设函数在区间上有定义 已知在点上的函数值 即 插值问题 求一个简单函数使得 插值条件 插值函数 插值节点 如果是多项式 则称为插值多项式 求插值函数的方法称为插法 a b 称为插值区间 如何构造P x 2 1插值法 设函数在区间上有定义 已知在点上的函数值 即 当n 0时 只有一个插值节点的情形 当n 1时 有两个插值节点的情形 当n 2时 有三个插值节点的情形 插值多项式的存在唯一定理 在次数不超过n的多项式集合中 满足插值条件的插值多项式是存在并且唯一的 是否任意给定n 1个不同的插值节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式 2 1插值法 例1 给定数据表如下 1 用一次插值多项式计算f 0 7 的近似值 2 用二次插值多项式计算f 0 7 的近似值 3 用三次插值多项式计算f 0 7 的近似值 求三次插值多项式要解一个四阶线性方程组 计算量大太了 有没有更简便的办法 2 1插值法 拉格朗日 Lagrange 插值多项式 例2 数据如例1 应用拉格朗日多项式重新计算 1 2 3 拉格朗日插值的优缺点 公式结构紧凑 在理论分析中方便 但如遇节点增减 所有数据需全部重算 2 1插值法 牛顿 Newton 插值多项式记函数在的值 称为关于的零阶差商 称为函数关于点的一阶差商一般地 关于的k阶差商为 2 1插值法 差商表 例3 数据如例1写出差商表 应用牛顿插值多项式重新计算 1 2 3 2 1插值法 设函数在等距节点上的值为已知 这里为常数 称为步长 在前面的讨论中 节点是任意分布的 但实际上经常遇到等距节点的情况 这时插值公式可以得到简化 2 1插值法 差分的定义称为在处以为步长的向前差分称为在处以为步长的向后差分称为在处以为步长的中心差分下面以向前差分为例 向后差分和中心差分的情形相似用一阶差分可以定义二阶差分一般地可定义m阶差分为 2 1插值法 差分表 牛顿向前差分插值公式 例4 数据如例1写出差分表 应用上式重新计算 1 2 3 2 1插值法 高次插值的病态性质对于一个确定的区间 插值节点越多 插值多项式的次数越高插值 20世纪初 Runge 龙格 就给出了一个等距节点插值多项式不收敛到的例子 设 在区间上取个等距节点 构造拉格朗日插值多项式为其中 2 1插值法 龙格现象 如何避免高次插值的病态问题 2 1插值法 分段线性插值 从几何上看 就是用折线逼近曲线 设是区间上的函数 在节点上的函数值为 记则的分段线性插值函数定义为 在区间上显然有 2 1插值法 分段线性插值示意图 例5 数据如例1 应用分段线性插值计算f 0 5 f 0 75 的近似值 2 1插值法 分段二次插值 设是区间上的函数 在节点上的函数值为 记则的二次插值函数定义为 在区间上显然有 2 1插值法 分段二次插值示意图 例6 数据如例1 应用分段二次插值计算f 0 5 f 0 75 的近似值 2 1插值法 三次样条插值函数定义 对于区间上给定的一个分划如果函数在子区间上都是不超过3次的多项式 并且2阶导数在内节点处连续 则称为区间上以为节点的三次样条函数 对于函数 若还满足插值条件 则称为在区间上的三次样条插值函数 2 1插值法 三次样条插值示意图 例7 数据如例1 如何求三次样条插值函数 2 1插值法 三次样条是节点上的分段三次多项式 故可写成 其中为待定系数 共有个未知数 而应满足的条件为 1 插值和函数连续条件个 2 内节点处一阶导数连续个条件 3 内节点处二阶导数连续个条件 总共由个条件 因此 要确定个系数 还需要附加两个条件 用待定系数法需要解一个4n阶的线性议程组 有没有更简便的方法 2 1插值法 求三次样条插值函数的三弯矩算法记经过推导可得根据的一阶导数在内节点的连续性 可得到 2 1插值法 在实际应用中 我们一般使用如下三种类型的条件 1 固支条件 即已知两个端点的一阶导数值 2 已知两个端点的二阶导数值 特别地 当时称为自然边界条件 3 周期条件 同时要求 2 1插值法 应用第一种边界条件得到的三弯矩方程 2 1插值法 应用第二种边界条件得到的三弯矩方程 2 1插值法 例8 设给定边界条件试求三次样条函数解 先求出三弯矩方程的参数 于是 三弯矩方程组为 求出的解为 2 1插值法 代入的分段表示式 得到 边界条件修改为f 0 1 f 3 1时得到的三次样条曲线 边界条件为f 0 0 2 f 3 1 2 1插值法 练习给定数据表如下 同例1 求三次样条函数S x 1 边界条件为f 0 2 0 f 1 2 0 2 边界条件为f 0 2 20 f 1 2 20 3 边界条件为f 0 2 0 f 1 2 0 曲线拟合的最小二乘法 在中找一函数 使得误差平方和最小 这里 2 2曲线拟合的最小二乘法 设函数在区间上有定义 已知在离散点上的实验数据 上的线性无关函数族 2 2曲线拟合的最小二乘法 通常在最小二乘法中都考虑为加权平方和这里是 a b 上的权函数 它表示不同点处的数据比重不同 例如可表示在点处重复观测的次数 求解最小二乘拟合问题的方法 1 计算向量加权内积 2 列出法方程 正规方程 3 得到解向量即 2 2曲线拟合的最小二乘法 例9考虑下表给出的离散点 2 2曲线拟合的最小二乘法 S x 0 276 1 517x 2 2曲线拟合的最小二乘法 例10考虑下表给出的离散点 S x 1 0052 0 8641x 0 8437x2 2 2曲线拟合的最小二乘法 例11考虑下表给出的离散点可以假设模型为从而即是和的线性组合 2 2曲线拟合的最小二乘法 正规方程如下 解得 拟合曲线为 试一试直接用a0