高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 2函数的极值与导数 自主学习新知突破 1 了解函数极值的概念 会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 4 增强数形结合的思维意识 提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力 已知y f x 的图象 如图 问题1 当x a时 函数值f a 有何特点 提示1 在x a的附近 f a 最小 f a 并不一定是y f x 的最小值 问题2 试分析在x a的附近导数的符号 提示2 在x a附近的左侧 曲线的切线斜率小于零 即f x 0 问题3 f a 值是什么 提示3 f a 0 若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其它点的函数值都小 f a 而且在点x a附近的左侧 右侧 就把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 极小值点与极小值 0 f x 0 f x 0 若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其它点的函数值都大 f b 而且在点x b附近的左侧 右侧 就把点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 极大值点与极大值 0 f x 0 f x 0 1 对函数极值概念的理解 1 函数的极值是函数的局部性质 它反映了函数在某一点附近的大小情况 2 由函数极值的定义知道 函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值 即端点一定不是函数的极值点 3 在一个给定的区间上 函数可能有若干个极值点 也可能不存在极值点 函数可能只有极大值 没有极小值 或者只有极小值 没有极大值 也可能既有极大值 又有极小值 极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 求函数y f x 的极值的方法是 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么 f x0 是极小值 函数极值的求法 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 极值点与导数的关系 1 可导函数的极值点必须是导数为0的点 但导数为0的点不一定是极值点 2 不可导点可能是极值点 也可能不是极值点 3 导数为0是极值点 y x2 y 0 0 x 0是极小值点 1 下图是函数y f x 的导函数y f x 的图象 给出下列命题 3是函数y f x 的极值点 1是函数y f x 的最小值点 y f x 在x 0处切线的斜率小于零 y f x 在区间 3 1 上单调递增 则正确命题的序号是 a b c d 解析 由导函数图象知函数f x 在 3 上单调递减 3 上单调递增 f 3 0 f 0 0 x 3是函数f x 的极值点 正确 答案 b 2 函数y x2 1 3 1的极值点是 a 极大值点x 1b 极大值点x 0c 极小值点x 0d 极小值点x 1解析 y 6x x2 1 2 0有三个根 x1 1 x2 0 x3 1 由解y 0得x 0 由解y 0得x 0 只有x 0是极小值点 故选c 答案 c 3 函数f x x3 3x2 1的极小值点为 解析 由f x 3x2 6x 0 解得x 0或x 2 列表如下 当x 2时 f x 取得极小值 答案 x 2 合作探究课堂互动 求函数的极值 求下列函数的极值 思路点拨 先确定函数定义域 然后正确求导 再解方程f x 0 列表分析 求出函数的极值 1 函数的定义域为r f x x2 2x 3 x 1 x 3 令f x 0 得x1 1 x2 3 由此可知当x变化时 f x f x 的变化情况如下表所示 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 故当x 3时函数取得极小值 且f 3 22 1 求可导函数f x 极值的步骤 1 求函数的导数f x 2 令f x 0 求出全部的根x0 3 列表 方程的根x0将整个定义域分成若干个区间 把x f x f x 在每个区间内的变化情况列在这个表格内 4 判断得结论 若导数在x0附近左正右负 则在x0处取得极大值 若左负右正 则取得极小值 2 注意事项 1 不要忽略函数的定义域 2 要正确地列出表格 不要遗漏区间和分界点 1 求下列函数的极值 1 f x x3 12x 2 f x x2e x 解析 1 函数f x 的定义域为r f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 从表中可以看出 当x 2时 函数f x 有极大值 且f 2 2 3 12 2 16 当x 2时 函数f x 有极小值 且f 2 23 12 2 16 2 函数f x 的定义域为r f x 2xe x x2e x x 2xe x x2e x x 2 x e x 令f x 0 得x 0或x 2 已知函数极值求参数 设函数f x ax3 bx2 cx 在x 1和x 1处有极值 且f 1 1 求a b c的值 并求出相应的极值 根据x 1列表分析f x 的符号 f x 的单调性和极值点 由上表可以看出 当x 1时 函数有极大值 且f 1 1 当x 1时 函数有极小值 且f 1 1 已知函数极值情况 逆向应用确定函数的解析式 进而研究函数性质时 注意两点 1 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 2 已知函数f x x3 ax2 bx c 当x 1时 取得极大值7 当x 3时 取得极小值 求这个极小值及a b c的值 解析 f x 3x2 2ax b 据题意 1 3是方程3x2 2ax b 0的两个根 由根与系数的关系得 极值的综合应用 已知a为实数 函数f x x3 3x a 1 求函数f x 的极值 并画出其图象 草图 2 当a为何值时 方程f x 0恰好有两个实数根 思路点拨 2 结合图象 当极大值a 2 0时 有极小值小于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰有两个实数根 所以a 2满足条件 当极小值a 2 0时 有极大值大于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 所以a 2满足条件 综上 当a 2时 方程恰有两个实数根 12分 1 如何利用导数画函数的大致图象 求出函数的极值点和极值 结合函数的单调性及x 时 f x 值的变化趋势 可画出函数的大致图象 2 如何利用导数判断方程根的个数 用求导的方法确定方程根的个数 是一种很有效的方法 它通过函数的变化情况 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数 从而判断方程根的个数 3 将本例中 2 改为 f x 0恰有三个实数根 若只有一个实数根 求实数a的取值范围 若f x 0恰有一个实数根 如图 2 则有 a 2 0 解得a 2 或a 22 或a 2时 f x 0只有一个实数根 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 错因 根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 此题未验证x 1两侧函数的单调性 故求错 当a 1 b 3时