高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 简单线性规划的应用课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时简单线性规划的应用 自主学习新知突破 1 会从实际情境中列举出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 2 培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的能力 1 实际问题中线性规划的类型 给定一定数量的人力 物力资源 问怎样运用这些资源 使完成的任务量最大 收到的效益最大 给定一项任务 问怎样统筹安排 使完成这项任务耗费的人力 物力资源最少 线性规划在实际问题中的应用 2 线性规划解决的常见问题 物资调配问题 产品安排问题 合理下料问题 产品配比问题 方案设计问题 3 线性规划解决实际问题的一般步骤 最优整数解的求解技巧如何求线性规划问题的最优整数解是整个线性规划中最复杂也是最困难的问题 为了解决这类问题 可以采用如下两种方法 1 局部微调法 所谓 局部微调法 是指 在求线性目标函数z ax by c的最优整数解时 先根据基本方法求出目标函数的最优解 但若此时最优解不是整数 即此时直线经过的点a x0 y0 不是整点 可先根据a x0 y0 求出此时的z0 ax0 by0 c 然后根据条件把z0的值微调为大于 或小于 z0且与z0最接近的整数z1 再求出直线z1 ax by c与可行域各直线的交点坐标 然后在这些交点之间寻找整点 1 车间有男工25人 女工20人 要组织甲 乙两种工作小组 甲组要求有5名男工 3名女工 乙组要求有4名男工 5名女工 并且要求甲种组数不少于乙种组数 乙种组数不少于1组 则要使组成的组数最多 甲 乙各能组成的组数为 a 甲4组 乙2组b 甲2组 乙4组c 甲 乙各3组d 甲3组 乙2组 答案 d 当目标函数线l向右平移 移至点a 30 20 处时 目标函数取得最大值 即当黄瓜种植30亩 韭菜种植20亩时 种植总利润最大 答案 b 3 蔬菜价格随着季节的变化而有所变化 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知 购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元 而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元 设购买2千克甲种蔬菜所需费用为a元 购买3千克乙种蔬菜所需费用为b元 则a b 答案 4 配制a b两种药剂 需要甲 乙两种原料 已知配一剂a种药品需甲料3mg 乙料5mg 配一剂b种药品需甲料5mg 乙料4mg 今有甲料20mg 乙料25mg 若a b两种药品至少各配一剂 问共有多少种配制方法 作出可行域 如图 由图知 区域内的所有格点为 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 共8种不同方法 合作探究课堂互动 求最大值的实际应用题 某货运公司拟用集装箱托运甲 乙两种货物 一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米 总重量不能低于650千克 甲 乙两种货物每袋的体积 重量和可获得的利润 列表如下 问 在一个大集装箱内 这两种货物各装多少袋 不一定都是整袋 时 可获得最大利润 作出上述不等式组表示的平面区域 如图阴影部分所示 解答线性规划应用题的一般步骤 1 审题 仔细阅读 对关键部分进行 精读 准确理解题意 明确有哪些限制条件 起关键作用的变量有哪些 由于线性规划应用题中的量较多 为了理顺题目中量与量之间的关系 有时可借助表格来理顺 2 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题 3 求解 解这个纯数学的线性规划问题 4 作答 就应用题提出的问题作出回答 1 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用a原料3吨 b原料2吨 生产每吨乙产品要用a原料1吨 b原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨 b原料不超过18吨 求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润 解析 设生产甲产品x吨 生产乙产品y吨 则有关系 目标函数z 5x 3y 作出可行域如图所示 求最小值的实际应用问题 某人承揽一项业务 需做文字标牌4个 绘画标牌5个 现有两种规格的原料 甲种规格每张3m2 可做文字标牌1个 绘画标牌2个 乙种规格每张2m2 可做文字标牌2个 绘画标牌1个 求两种规格的原料各用多少张 才能使得总用料面积最小 思路点拨 可先设出变量 建立目标函数和约束条件 转化为线性规划问题来求解 解析 设需要甲种原料x张 乙种原料y张 则可做文字标牌 x 2y 个 绘画标牌 2x y 个 由题意可得 在一组平行直线3x 2y z中 经过可行域内的点且到原点距离最近的直线 过直线2x y 5和直线x 2y 4的交点 2 1 最优解为x 2 y 1 使用甲种规格原料2张 乙种规格原料1张 可使总的用料面积最小 解答线性规划应用题应注意以下几点 1 在线性规划问题的应用中 常常是题中的条件较多 因此认真审题非常重要 2 线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断 3 结合实际问题 分析未知数x y等是否有限制 如x y为正整数 非负数等 4 分清线性约束条件和线性目标函数 线性约束条件一般是不等式 而线性目标函数却是一个等式 2 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 作出可行域 如图中阴影部分所示 实际问题中的整数解问题 作出可行域如图所示 作出直线x y 0 作出一组平行直线x y t 其中t为参数 对于线性规划中最优整数解的问题 当解方程组得到的解不是整数解时 可用下面的方法求解 1 平移直线法 先在可行域内打网格 再描整点 平移直线l 最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解 2 检验优值法 当可行域内整点个数较少时 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值 经比较得出最优解 3 调整优值法 先求非整点最优解及最优值 再借助不定方程知识调整最优值 最后筛选出最优解 3 某中学准备组织学生去 鸟巢 参观 参观期间 校车每天至少要运送480名学生 该中学后勤有7辆小巴 4辆大巴 其中小巴能载16人 大巴能载32人 已知每辆客车每天往返次数小巴为5次 大巴为3次 每次运输成本小巴为48元 大巴为60元 请问每天应派出小巴 大巴各多少辆 才能使总费用最少 即可行域 如图阴影部分的整点 作出直线l 240 x 180y 0 即4x 3y 0 作出直线l 240 x 180y 0 即4x 3y 0 把直线l向右上方平移 使其经过可行域上的整点 且使其在y轴上的截距最少 观察图形 可知当直线l经过点 2 4 时 满足上述要求 此时 z 240 x 18