高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法课件 北师大版选修22.ppt

3反证法 课前预习学案 从前有个国王 总认为自己既有 至高无上 的权威 又是个 大慈大悲 的救世主 在处决犯人前 总要叫犯人抽签决定自己的命运 即在两张小纸片上 一张写 活 字 一张写 死 字 抽到 活 字可幸免一死 一天 一个犯人将要被处决 他的死对头买通了狱吏 把两张纸片都写上了 死 字 心想这下犯人必死无疑 谁知这个狱吏竟把此消息透露给了犯人 犯人一听 乐得眉开眼笑 高兴地说 这下我可死里逃生了 你知道这个犯人是用什么妙法死里逃生的吗 提示 犯人抽签后 二话不说便将纸签吞入腹中 显然剩下来的是 死 签 由此反证犯人吞下的是 活 签 聪明的犯人巧用反证法 死里逃生了 在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 我们可以先假定命题结论的反面成立 在这个前提下 若推出的结果与 相矛盾 或与 相矛盾 或与 相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 1 反证法 定义 公理 定理 命题中的已知条件 假定 1 反证法的特征是通过推理导出矛盾 归结为谬误而使命题得证 因此 反证法也叫归谬法 如果结论的反面只有一种情况 即只需作出一种假设并设法导致谬误 命题获证 如果结论的反面不止一种情况 则对每种情况都必须作出反设 然后将每一反设一一驳倒 才能使命题获证 因此 可将反证法进行分类 前者称为简单归谬法 而后者称为穷举归谬法 穷举法 2 下面几类问题的证明一般适合用反证法 已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少的命题 结论的反面是比原结论更具体 更简单的命题 特别是结论是否定形式 不是 不可能 等 的命题 涉及各种无限结论的命题 以 至多 少 若干个 为结论的问题 存在性命题 唯一性命题 某些定理的逆定理 一般关系不明确或难于直接证明的不等式问题等 反证法的逻辑依据是 矛盾律 和 排中律 3 反证法不是直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上运用演绎推理导出矛盾 所谓矛盾主要是指 与已知公理矛盾 与已知定理矛盾 与已知定义矛盾 与已知公式矛盾 与已知条件 或部分条件 矛盾 与由已知条件推出的某正确结论矛盾 与反设自身矛盾 由反设导出两个互相矛盾的结果 与公认的简单事实矛盾 如导出0 1 1 0 2 2之类的矛盾 1 反设 作出 的假设 2 归谬 进行推理 导出 3 结论 否定 肯定 2 反证法的证题步骤 常见的 原结论词 与 反设词 如下 否定结论 矛盾 假设 结论 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 结论相反的判断 即假设 原命题的条件 公理 定理 定义 原结论 a b c d 答案 c 2 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 反设正确的是 a 假设三内角都不大于60 b 假设三内角都大于60 c 假设三内角至多有一个大于60 d 假设三内角至多有两个大于60 解析 至少有一个不大于 的反面是 都大于 答案 b 3 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设是 解析 a b c三个自然数中偶数的个数可能是0 1 2 3四种情况 恰有一个偶数 是其中的一种情况 它的反面是其余三种情况 答案 a b c都是奇数或至少有两个偶数 课堂互动讲义 求证函数f x 2x 1有且只有一个零点 思路导引 一般先证存在性 再用反证法证唯一性 用反证法证明 存在 唯一 型命题 1 结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的 唯一 型命题 由于反设结论易于导出矛盾 所以用反证法证明简单而又明了 2 有且只有 的含义有两层 存在性 本题中只需找到函数f x 2x 1的一个零点即可 唯一性 正面直接证明较为困难 故可采用反证法寻求矛盾 从而证明原命题的正确性 1 已知a与b是异面直线 求证 过a且平行于b的平面只有一个 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 用反证法证明 至多 至少 无限 型问题 规范解答 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 3分由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 6分 1 反证法中的 反设 是前提 基础 这是应用反证法的第一步 也是关键的一步 反设 的结论将是下一步 归谬 的一个已知条件 反设 是否正确 全面 直接影响下一步的证明 2 做好 反证 应明确 正确分清题设和结论 对结论实施正确否定 对结论否定后 找出其存在的