高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 等差数列的综合应用课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时等差数列的综合应用 1 复习巩固等差数列的定义 通项公式和前n项和公式 2 掌握等差数列前n项和的性质及其应用 3 能够利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题 等差数列 1 定义 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 2 公式 若数列 an 是公差为d的等差数列 则有an a1 n 1 d 做一做1 1 等差数列 an 的公差d 2 a1 1 则 a an 2n sn n2b an n sn n2 nc an 2n 1 sn n2d an 2n 1 sn n2 n答案 c 做一做1 2 等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a1 4 则公差d等于 答案 c 等差数列前n项和的性质剖析数列 an 是公差为d的等差数列 其前n项和具有下列性质 1 sn a1 a2 an s2n sn an 1 an 2 a2n a1 a2 an n2d s3n s2n a2n 1 a2n 2 a3n a1 a2 an 2n2d 则sn s2n sn s3n s2n是公差为n2d的等差数列 且有sn s3n s2n 2 s2n sn 名师点拨sn s2n s3n不一定成等差数列 这一点要切记 2 若项数为2n 则s偶 s奇 a2 a4 a6 a2n a1 a3 a5 a2n 1 d d d nd 3 若项数为2n 1 则s偶 a2 a4 a6 a2n 2 4 若等差数列 bn 的前n项和为tn 则有 题型一 题型二 题型三 等差数列前n项和性质的应用 例1 一个等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 求其前110项之和 分析本题的基本解法是求a1 d或令sn an2 bn 先求sn 再求s110 或利用性质求解 解法一设该等差数列为 an 其公差为d 前n项和为sn 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 解法二设此等差数列的前n项和为sn an2 bn s10 100 s100 10 解法三数列s10 s20 s10 s30 s20 s100 s90 s110 s100成等差数列 设其公差为d 则前10项的和为 s110 s100 s10 11 1 d 100 10 22 120 s110 120 s100 110 题型一 题型二 题型三 解法四 s100 s10 a11 a12 a100 反思1 先利用已知求出a1 d 再求所求的量 这是基本解法 有时运算量较大 如本题解法一 2 我们也可以利用等差数列前n项和的性质 或利用等差数列通项公式的性质 这两种解法可简化运算 是最优解法 如本题解法三和解法四 题型一 题型二 题型三 变式训练1 等差数列 an 的前m项和为30 前2m项和为100 求数列 an 的前3m项的和s3m 解在等差数列 an 中 sm s2m sm s3m s2m成等差数列 即30 70 s3m 100成等差数列 故2 70 30 s3m 100 s3m 210 题型一 题型二 题型三 实际应用问题 例2 某长江抗洪指挥部接到预报 24h后有一洪峰到达 为确保安全 指挥部决定在洪峰来临前筑一个堤坝作为一道防线 经计算 除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外 还需用20台同型号的翻斗车 平均每辆车要工作24h才能完成任务 但目前只有一辆车投入施工 其余的需从附近高速公路上抽调 每隔20min能有一辆车到达 且指挥部最多还可调集24辆车 那么在24h内能否构筑成这道防线 分析这25辆车分别工作的时间按一定顺序排起来 组成一个等差数列 计算出这25辆车可以工作的时间 即这个等差数列的前25项和 如果大于或等于总共需要工作的时间 就能构筑成这道防线 否则不能 题型一 题型二 题型三 解设第n辆车工作的时间是anh 总共需要工作的时间为24 20 480 h 因为500 h 480 h 所以 在24h内能构筑成这道防线 题型一 题型二 题型三 反思有关数列的应用问题 应先通过对实际问题的研究建立关于数列的数学模型 然后求出符合实际的答案 可分以下几步考虑 1 问题中所涉及的数列 an 有何特征 2 是求数列 an 的通项还是求其前n项和 3 列出等式 或方程 求解 4 怎样求解 5 答案是怎样的 题型一 题型二 题型三 变式训练2 甲 乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动 甲第1min走2m 以后每分钟比前1min多走1m 乙每分钟走5m 1 甲 乙开始运动几分钟后第一次相遇 2 如果甲 乙到达对方起点后立即折返 甲继续每分钟比前1min多走1m 乙继续每分钟走5m 那么开始运动几分钟后第二次相遇 解 1 设甲 乙运动开始nmin后第一次相遇 整理 得n2 13n 140 0 解得n 7或n 20 舍去 故甲 乙开始运动7min后第一次相遇 题型一 题型二 题型三 2 设mmin后第二次相遇 依题意有 整理得m2 13m 6 70 0 解得m 15或m 28 舍去 故开始运动15min后第二