高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列课件 新人教A版必修5.ppt

第1课时等差数列 1 理解等差数列的概念 明确 同一个常数 的含义 2 掌握等差数列的通项公式及其应用 3 会判定或证明等差数列 了解等差数列与一次函数的关系 1 等差数列 名师点拨1 定义中 每一项与它的前一项的差 的含义有两个 其一是强调作差的顺序 即后面的项减前面的项 其二是强调这两项必须相邻 2 公差d r 当d 0时 数列为常数列 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 做一做1 等差数列4 7 10 13 16的公差等于 答案 32 通项公式等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则通项公式是an a1 n 1 d 做一做2 在等差数列 an 中 首项a1 4 公差d 2 则通项公式an等于 a 4 2nb 2n 4c 6 2nd 2n 6解析 an a1 n 1 d 4 2 n 1 6 2n 答案 c 1 对等差数列定义的理解剖析 1 等差数列定义中的关键词是 从第2项起 与 同一个常数 如果一个数列 不是从第2项起 而是从第3项或第4项起 每一项与前一项的差是同一个常数 那么此数列不是等差数列 如果一个数列 从第2项起 每一项与前一项的差 尽管是常数 但这个数列也不一定是等差数列 这是因为这些常数可能不相同 必须是同一个常数 才是等差数列 等差数列中至少有三项 2 公差是数列中的某一项 除第一项外 与其前一项的差 不可颠倒 即d an 1 an an an 1 a3 a2 a2 a1 3 切忌只通过计算数列中特殊几项的差后 发现它们是同一个常数 就断言此数列为等差数列 2 对等差数列通项公式的理解剖析 1 从函数的角度看等差数列的通项公式 由等差数列的通项公式an a1 n 1 d 可得an dn a1 d 如果设p d q a1 d 那么an pn q 其中p q是常数 当p 0时 an是关于n的一次函数 即 n an 在一次函数y px q的图象上 因此从图象上看 表示等差数列的各点均在一次函数y px q的图象上 所以公差不为零的等差数列的图象是直线y px q上的均匀排开的一群孤立的点 当p 0时 an q 等差数列为常数列 此时数列的图象是平行于x轴的直线 或x轴 上的均匀分布的一群孤立的点 2 已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列 若已知等差数列的通项公式 则可以写出数列中的任意一项 3 等差数列 an 的通项公式an a1 n 1 d中共含有四个变数 即a1 d n an 如果知道了其中的任意三个数 就可以由通项公式求出第四个数 这一求未知量的过程我们通常称之为 知三求一 题型一 题型二 题型三 题型四 求等差数列的通项公式 例1 已知数列 an 是等差数列 a15 8 a60 20 求an 分析先求出a1 d 再求an 解设等差数列 an 的公差为d 求出a1和d 从而确定通项公式 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知数列 an 为等差数列 a3 5 a7 13 求数列 an 的通项公式 解设首项为a1 公差为d 则故an a1 n 1 d 1 n 1 2 2n 1 题型一 题型二 题型三 题型四 等差数列的判定与证明 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思已知数列 an 的通项公式an f n 用定义判断或证明 an 是等差数列的步骤 1 利用通项公式an f n 写出an 1 f n 1 或an 1 f n 1 n 2 2 作差an 1 an 或an an 1 将差变形 3 当差an 1 an 或an an 1 是一个与n无关的常数时 数列 an 是等差数列 当差an 1 an 或an an 1 不是常数 是与n有关的代数式时 数列 an 不是等差数列 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 实际应用问题 例3 梯子的最高一级宽为33cm 最低一级宽为110cm 中间还有10级 各级宽度依次成等差数列 计算中间各级的宽度 分析要求梯子中间各级的宽度 必须知道各级宽度组成的等差数列的公差 又梯子的级数是12 因此 该问题相当于已知等差数列的首项 末项及项数求公差 解设梯子的第n级的宽为ancm 其中最高一级宽为a1cm 则数列 an 是等差数列 由题意 得a1 33 a12 110 n 12 则a12 a1 11d 所以110 33 11d 解得d 7 所以a2 33 7 40 a3 40 7 47 a11 96 7 103 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm 47cm 54cm 61cm 68cm 75cm 82cm 89cm 96cm 103cm 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决实际应用问题的关键是建立数学模型 本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数 求各项 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 某公司经销一种数码产品 第1年获利200万元 从第2年起 由于市场竞争等方面的原因 利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律 如果公司不开发新产品 也不调整经营策略 从哪一年起 该公司经销这一产品将出现亏损 解由题意可知 设第1年获利为a1 第n年获利为an 则an an 1 20 n 2 n n 每年获利构成等差数列 an 且首项a1 200 公差d 20 所以an a1 n 1 d 200 n 1 20 20n 220 若an11 即从第12年起 该公司经销这一产品将出现亏损 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 对等差数列的定义理解不透致错 例4 若数列 an 的通项公式为an 10 lg2n n n 求证 数列 an 为等差数列 错解因为an 10 lg2n 10 nlg2 所以a1 10 lg2 a2 10 2lg2 a3 10 3lg2 所以a2 a1 lg2 a3 a2 lg2 则a2 a1 a3 a2 故数列 an 为等差数列 错因分析a3 a2 a2 a1 常数 不能满足等差数列的定义中 从第2项起 每一项与前一项的差等于同一个常数 的要求 题型一 题型二 题型三 题型四 正解因为an 10 lg2n 10 nlg2 所以an 1 10 n 1 lg2 所以an 1 an 10