八年级数学上册 13.313.4课件 （新版）新人教版.ppt

第十三章轴对称 13 3等腰三角形13 4课题学习最短路径问题 八年级数学 上新课标 人 等腰 等边 三角形的性质和判定的综合应用 例1 如图所示 bd和cd分别平分 abc的内角 eba和外角 eca bd交ac于f 连接ad 1 求证 bdc bac 2 若ab ac 请判断 abd的形状 并证明你的结论 3 在 2 的条件下 若af bf 求 eba的大小 解析 1 根据角平分线的定义得到 bdc abc ace bac abc ace 于是得到 bdc abc bac abc 等量代换即可得到结论 2 作dm bg于m dn ac于n dh be于h 根据角平分线的性质得到dm dh dn dh 等量代换得到dm dn 根据平角定义和三角形的内角和得到 gad cad bac 180 bac abc acb 180 推出 gad cad abc acb 由等腰三角形的性质得到 abc acb 等量代换得到 gad abc 推出ad bc 由平行线的性质得到 adb dbc 证得 abd adb 即可得到结论 3 根据等腰三角形的性质得到 baf abf abc 根据三角形的内角和即可求解 3 af bf baf abf abc baf abc acb 180 abc acb abc 180 abc 72 即 eba 72 证明 1 bd cd分别平分 eba eca bd交ac于f bdc abc ace bac abc ace bdc abc bac abc bdc bac 解 2 abd为等腰三角形 证明如下 作dm bg于m dn ac于n dh be于h bd cd分别平分 eba eca dm dh dn dh dm dn ad平分 cag 即 gad cad gad cad bac 180 bac abc acb 180 gad cad abc acb ab ac abc acb gad abc ad bc adb dbc 又 abd dbc abd adb ab ad abd为等腰三角形 规律方法 本题考查了等腰三角形的判定和性质 角平分线的性质 三角形的内角和 三角形的外角的性质 正确地作出辅助线是解题的关键 1 如图所示 在 abc中 abc和 acb的平分线交于点o 过o点作ef bc 交ab于e 交ac于f 1 判断 beo的形状 并说明理由 2 若be 5cm cf 3cm 求ef的长 解 1 beo是等腰三角形 理由 bo平分 abc ebo cbo ef bc eob cbo ebo eob be eo beo是等腰三角形 2 bo平分 abc co平分 acb ebo cbo ocb fco ef bc eob cbo foc bco ebo eob foc fco be eo cf fo eo of ef ef be cf 8cm 考查角度1关于等腰三角形中角的问题 例2 等腰三角形中讨论问题 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50 那么这个等腰三角形的底角为 解题归纳 本题主要考查了等腰三角形的性质 知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50 有两种情况 一种是高在三角形内部 另一种是高在三角形外部 读懂题意 是解答本题的关键 70 或20 解析 分两种情况 如图13 58 1 所示 abc是等腰三角形 bd ac 即 adb 90 abd 50 在rt abd中 a 90 50 40 c abc 70 如图13 58 2 所示 abc是等腰三角形 bd ac 即 adb 90 abd 50 在rt abd中 bad 90 50 40 又 bad abc c abc c c abc 20 2 已知等腰三角形abc 由顶点a所引bc边上的高线长等于bc边长的一半 求 bac的度数 解 ad是bc边上的高线 若bc是底边 即ab ac 如图 1 所示 bd dc bad cad ad bc ad bd b bad 45 bac 2 bad 90 若bc是腰 bc ba 若点d在bc边上 如图 2 所示 则在rt bad中 易知ba 2ad b 30 bac 75 若点d在cb的延长线上 如图 3 所示 类似地 得 dba 30 则 abc 150 bac 15 若等腰三角形一腰上的中线将其周长分为9cm和12cm两部分 则这个等腰三角形的腰长为 考查角度2关于等腰三角形中边的问题 例3 8cm或6cm 解题归纳 注意结合等腰三角形的性质和三边关系的知识 解析 设腰长为xcm 底长为ycm 根据题意可知x y 12 9 3 cm 或y x 3 cm 且x x y 21 当x y 3时 可解得x 8 此时三角形的三边为8cm 8cm 5cm 满足三角形的三边关系 当y x 3时 可解得x 6 此时三角形的三边为6cm 6cm 9cm 满足三角形的三边关系 综上可知 三角形的腰长为8cm或6cm 3 等腰三角形底边长为5cm 一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm 则腰长为 8cm 2 证明满足 和 的情形 理由如下 在 boe和 cod中 boe cod ob oc obc ocb ebo obc dco ocb 即 abc acb ab ac abc是等腰三角形 某校八 3 班在一次数学探究性学习活动中 探究 一般三角形具备哪些条件 就能断定其是等腰三角形 的过程中 其中一个小组提出下列问题 如图所示 abc中 d e分别是ac ab上的点 bd与ce交于点o 给出下列四个条件 ebo dco beo cdo be cd ob oc 1 上述四个条件中 哪两个条件组合可判定 abc是等腰三角形 用序号写出所有情况 2 选择第 1 问中的一种情况 证明 abc是等腰三角形 等腰三角形与全等三角形的综合问题 例4 解 1 和 和 和 和 四种情况 均可判定 abc是等腰三角形 4 杭州中考 如图所示 在 abc中 ab ac 点e f分别在ab ac上 ae af bf与ce相交于点p 求证pb pc 并请直接写出图中其他相等的线段 证明 在 abf与 ace中 abf ace sas abf ace 又ab ac abc acb abc abf acb ace 即 fbc ecb pb pc 相等的线段还有 pe pf ce bf be cf 如图所示 abc为等边三角形 ae cd ad be相交于点p bq ad于q pq 3 pe 1 求ad的长 等边三角形与全等三角形的综合问题 例5 解析 由已知条件易知 abe cad 从而可得ad be 故只需求bp的长 由bq ad知在rt bpq中 若有 pbq 30 就可以求出bp的长 于是将求证 bpq 60 作为问题的突破口 解 abc为等边三角形 bac c 60 ab ca 又ae cd abe cad abe cad be ad bpq bap abe bap cad bac 60 又bq ad pbq 30 pb 2pq 6 be pb pe 7 ad be 7 5 如图所示 d是等边三角形abc内一点 db da bp ab dbp dbc 求证 p 30 证明 连接dc 由题意知在 bpd和 bcd中 bpd bcd sas p bcd 在 adc和 bdc中 adc bdc sss bcd acd acb 30 p 30 等腰三角形与含有30 角的直角三角形的综合问题 如图所示 在等边三角形abc中 bd平分 abc交ac于点d 过点d作de bc于点e 且ce 1 求bc的长 例5 解 abc是等边三角形 abc c 60 ab bc ac de bc cde 30 ec 1 cd 2ec 2 bd平分 abc交ac于点d ad cd 2 bc ac ad cd 4 解题归纳 在解决与等边三角形相关的问题时 除利用它的特殊性质外 还应结合 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 来求解 6 如图所示 abc中 ab ac bac 120 ad ac交bc于点d 求证bc 3ad 证明 在 abc中 ab ac bac 120 b c 30 又 ad ac dac 90 c 30 cd 2ad 易知 bad b 30 ad db bc cd bd ad dc ad 2ad 3ad 最短路径的问题 如图13 62所示 已知点a是锐角 mon内一点 试分别在om on上确定点b 点c 使 abc的周长最小 写出作图的主要步骤 并标明所确定的点 例7 解析 本题考查两点之间 线段最短和轴对称等重要知识点 由题意知作a点关于om on的对称点 然后连接两对称点可得所求的点 本题是一道难度中等的题目 解 如图13 63所示 分别作点a关于om on的对称点a a 连接a a 分别交om on于点b 点c 则点b 点c即为所求 7 如图所