【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(三十) 5.3等比数列及其前n项和 文 新人教A版.doc

课时提升作业(三十)等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于()a.-24b.0c.12d.24【解析】选a.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.【加固训练】(2015福州模拟)已知等比数列an的前n项和为sn=x3n-1-,则x的值为()a.b.-c.d.-【解析】选c.当n=1时,a1=s1=x-,当n2时,an=sn-sn-1=（x3n-1-）-（x3n-2-）=x(3n-1-3n-2)=2x3n-2,因为an是等比数列,所以由得x-=,解得x=.2.已知各项均为正数的等比数列an中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为()a.100b.1000c.10000d.10【解析】选c.因为lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13=106,所以a8=100,所以a1a15=10000.3.(2015昆明模拟)在等比数列an中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是()a.-2b.-c.d.【解析】选b.根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-40,所以a30,a70,即a50,a50,故+=9.答案:97.(2015徐州模拟)若等比数列an满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和sn=.【解析】由a2+a4=20,a3+a5=40,得即解得q=2,a1=2,所以sn=2n+1-2.答案:22n+1-28.定义“等平方和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列an是等平方和数列,且a1=1,平方和为5,且an0,则a2015=,这个数列的前n项和sn的计算公式为.【解析】由定义知+=5,a1=1,所以=4,因为an0,所以a2=2.又由+=5,所以=1,因为a30,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1,即数列an的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a2015=1.当n为偶数时,sn=(a1+a2)=n,当n为奇数时,sn=(a1+a2)+an=+1=.故sn= 答案:1sn= 三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015天津模拟)已知等比数列an的前n项和为sn,若s1,2s2,3s3成等差数列,且s4=.(1)求数列an的通项公式.(2)求证sn0,且m1(2)an为等差数列,则为等比数列(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列10.设f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,数列an的前n项和为sn,且sn=f2(n),数列bn中,b1=2,bn=f1(bn-1).(1)求数列an的通项公式.(2)求证:数列bn-1是等比数列.【解析】(1)由题意知sn=n2.当n2时,an=sn-sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=s1=1也适合上式,故an=2n-1.(2)由题意知bn=2bn-1-1,即bn-1=2(bn-1-1),因为b1-1=1,所以bn-1是以2为公比,以1为首项的等比数列.(20分钟40分)1.(5分)(2015济南模拟)已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=()【解析】选c.由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以=,又a-1=4.所以数列an是公比为,首项为4的等比数列,2.(5分)等比数列an的公比为q,则“a10,且q1”是“对于任意正整数n,都有an+1an”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选a.易知,当a10,且q1时,an0,所以=q1,表明an+1an;若对任意自然数n,都有an+1an成立,当an0时,同除以an得q1,但当an0时,同除以an得q1.3.(5分)(2015唐山模拟)已知数列an是等比数列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3中任何两个都不在同一列,则an=(nn*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188【解析】观察题中的表格可知a1,a2,a3分别为2,6,18,即an是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=23n-1.答案:23n-1【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”,满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(ij,i,jn*),则(1)anm= ,(2)a83=.【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比.【解析】由已知第一列数列的通项为,从第三行起各行等比数列的公比为.答案: 4.(12分)已知数列an满足a1=1,an+1=2an+n+1,设bn=an+n+2(1)证明:数列bn是等比数列.(2)设数列an的前n项和为sn,求an和sn.【解析】(1)由bn=an+n+2,则=2,又b1=a1+3=4,故bn是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)得bn=42n-1=2n+1,所以an=2n+1-n-2,故sn=a1+a2+an=(22+23+2n+1)-(1+2+3+n)-2n=-2n=2n+2-4.【加固训练】已知数列an中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0).(1)设bn=an+1-an(nn*),证明:bn是等比数列.(2)求数列an的通项公式.(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的nn*,an是an+3与an+6的等差中项.【解析】(1)由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2.由b1=a2-a1=1,q0,所以bn是首项为1,公比为q的等比数列.(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n2),将以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2),即an=a1+1+q+qn-2(n2).上式对n=1显然成立.(3)由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q0得q3-1=1-q6,整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-.由可得an-an+3=an+6-an,所以对任意的nn*,an是an+3与an+6的等差中项.5.(13分)(能力挑战题)已知等比数列an满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在正整数m,使得+1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,则由已知可得故an=3n-1,或an=-5(-1)n-1.(2)若an=3n-1,则=故是首项为,公比为的等比数列,若an=(-5)(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故是首项为-,公比为-1的等比数列,综上,对任何正整数m,总有0).数列bn满足bn=anan+1(nn*).(1)若an是等差数列,且b3=12,求a的值及an的通项公式.(2)若an是等比数列,求bn的前n项和sn.(3)当bn是公比为a-1的等比数列时,an能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为an是等差数列,a1=1,a2=a,所以an=1+(n-1)(a-1).又因为b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.因为a0,所以a=2.所以an=n.(2)因为数列an是等比数列,a1=1,a2=a(a0),所以an=an-1.所以bn=a