【世纪金榜】高三数学总复习 单元评估检测(八)平面解析几何 文 新人教A版.doc

【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(八)平面解析几何 文 新人教a版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,则a的值为( )a.2b.2c.d.【解析】选d.因为直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,所以,即2a2=4,解得a=,经检验都符合题意.2.(2015湖南六校联考)已知双曲线的标准方程为-y2=1,则它的焦点坐标为( )a.(1,0)b.(,0)c.(0,)d.(0,1)【解析】选b.因为a=,b=1,所以c=且焦点在x轴上,所以它的焦点坐标是(,0).3.(2015肇庆模拟)已知圆c的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆c与直线x+y+3=0相切,则圆c的方程是( )a.(x+1)2+y2=2b.(x+1)2+y2=8c.(x-1)2+y2=2d.(x-1)2+y2=8【解析】选a.根据题意直线x-y+1=0与x轴的交点为 (-1,0),因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d=则圆的方程为(x+1)2+y2=2.4.已知椭圆=1的焦点是f1,f2,如果椭圆上一点p满足pf1pf2,则下面结论正确的是( )a.p点有两个b.p点有四个c.p点不一定存在d.p点一定不存在【解析】选d.设椭圆的基本量为a,b,c,则a=5,b=4,c=3.以f1f2为直径构造圆,可知圆的半径r=c=34=b,即圆与椭圆不可能有交点,所以p点一定不存在.5.已知点f1,f2是双曲线c的两个焦点,过点f2的直线交双曲线c的一支于a,b两点,若abf1为等边三角形,则双曲线c的离心率为 ( )a.b.2c.3d.2【解析】选a.abf1为等边三角形,所以f1f2ab.设abf1的边长为x,所以=sin60,所以x=.由双曲线的定义知2a=x-x=,即a=,所以双曲线c的离心率为e=.6.(2015兰州模拟)已知圆o1:(x-a)2+(y-b)2=4,圆o2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1(a,br),那么两圆的位置关系是( )a.内含b.内切c.相交d.外切【解析】选c.因为圆o1:(x-a)2+(y-b)2=4,圆o2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1,圆o1的圆心坐标是(a,b),半径为2,圆o2的圆心坐标是(a+1,b+2),半径为1,所以两圆的圆心距为:因为13,所以两圆的位置关系是相交.故选c.7.命题p:4r0)上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则p是q的( )a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于5,所以圆(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,4rb0,e1,e2分别为圆锥曲线=1的离心率,则lg e1+lg e2的值( )a.大于0且小于1 b.大于1c.小于0 d.等于0【解析】选c.由题意,得(ab0),所以e1e2=所以lg e1+lg e2=lg(e1e2)=0,b0)的左支上一点,f1,f2分别是双曲线的左、右焦点,且pf1pf2,pf2与两条渐近线相交于m,n两点(如图),点n恰好平分线段pf2,则双曲线的离心率是( ) 【解析】选a.在f1f2p中,点n恰好平分线段pf2,点o恰好平分线段f1f2,所以onpf1,又on的斜率为,所以tanpf1f2=,在f1f2p中,设|pf2|=bt,|pf1|=at,根据双曲线的定义可知|pf2|-|pf1|=2a,所以bt-at=2a ,在rtf1f2p中,|pf2|2+|pf1|2=4c2 ,由消去t,得(a2+b2)=4c2,又c2=a2+b2,所以a2=(b-a)2,即b=2a,双曲线的离心率是10.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点a,b(a,b异于原点),抛物线的焦点为f.若双曲线的离心率为2,|af|=7,则p=( )a.3b.6c.12d.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出a,b两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选b.因为双曲线的离心率为2,所以e2=4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=x,代入y2=2px(p0),得x=p或x=0,故xa=xb=p,又|af|=xa+=7,所以p=6.【加固训练】(2014衡水模拟)若双曲线=1(a0,b0)与椭圆=1(mb0)的离心率之积等于1,则以a,b,m为边长的三角形一定是( )a.等腰三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.钝角三角形【解析】选b.设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2, (m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.11.(2015兰州模拟)已知双曲线=1(a0,b0)与抛物线y2=2px(p0)有一个共同的焦点f,点m是双曲线与抛物线的一个交点,若|mf|=p,则此双曲线的离心率等于( )【解析】选a.因为抛物线y2=2px(p0)的焦点所以由题意知双曲线=1的一个焦点为f(c,0),所以c=a,(1)即p2a.所以双曲线方程为=1,因为点m是双曲线与抛物线的一个交点,若|mf|=p,则m点横坐标xm=,代入抛物线y2=2px得 得9p4-148p2a2+64a4=0,解得p=4a或p=a,因为p2a,所以p=a舍去,故p=4a.(2)联立(1)(2)两式得c=2a,即e=2.12.已知p为椭圆+=1上任意一点,过椭圆的右顶点a和上顶点b分别作x轴和y轴的垂线,两垂线交于点c,过p作bc,ac的平行线交bc于点m,交ac于点n,交ab于点d,e,矩形pmcn的面积是s1,三角形pde的面积是s2,则= ( ) a.b.1c.d.【解析】选b.由题意知ab的方程为+=1,设p(x,y)在第一象限,所以d（5-,y）,所以sadn=y=,因为e（x,3-x）,所以s四边形acme=（x+3）(5-x)=(25-x2),因为p(x,y)在椭圆上,所以+=1,所以y2=9-,所以y2=(25-x2),所以sadn=s四边形acme,因为矩形pmcn的面积是s1,三角形pde的面积是s2,所以s2+s四边形anpe=s1+s四边形anpe,故=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若a,b为椭圆c:=1(ab0)长轴的两个端点,垂直于x轴的直线与椭圆交于点m,n,且kamkbn=,则椭圆c的离心率为 .【解析】设m(x,y),则n(x,-y), 解得离心率e=.答案: 14.(2014银川模拟)设双曲线=1的左、右焦点分别为f1,f2,过f1的直线l交双曲线的左支于a,b两点,则|bf2|+|af2|的最小值为 .【解析】由题意可得|af2|-|af1|=2a=4,|bf2|-|bf1|=2a=4,两式相加得|af2|+|bf2|-|ab|=8,所以|af2|+|bf2|=8+|ab|当且仅当abx轴时取等号,所以|bf2|+|af2|的最小值为11.答案:1115.(2015长春模拟)已知双曲线=1(a0,b0),且双曲线的一条渐近线截圆(x-3)2+y2=8所得弦长为4,则双曲线的离心率为 .【解析】双曲线=1的渐近线方程为y=x,不妨设y=x,即bx-ay=0,又该渐近线截圆(x-3)2+y2=8所得弦长为4,所以圆心到该直线的距离为d=2,即2=,即2c=3b,所以4c2=9b2=9(c2-a2),9a2=5c2, 答案:16.已知抛物线c的顶点在原点,焦点f与双曲线=1的右焦点重合,过定点p(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线c交于a,b两点,则弦ab的中点到抛物线的准线的距离为 .【解析】由题意,设抛物线的方程为y2=2px(p0),因为双曲线=1的右焦点坐标为(3,0),所以=3,即p=6,所以抛物线的标准方程为y2=12x.过定点p(2,0)且斜率为1的直线l的方程为y=x-2,设a(x1,y1),b(x2,y2),联立消去y可得x2-16x+4=0,所以x1+x2=16,线段ab的中点到抛物线的准线的距离为答案:11三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015福州模拟)在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的a,b两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点,求的值.(2)如果=-4,证明:直线l必过一定点,并求出该定点.【解析】(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,所以=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,所以b2-4b+4=0,所以b=2,所以直线l过定点(2,0).所以若=-4,则直线l必过一定点(2,0).18.(12分)在直角坐标系xoy中,以坐标原点o为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆o的方程.(2)若圆o上有两点m,n关于直线x+2y=0对称,且|mn|=2,求直线mn的方程.(3)圆o与x轴相交于a,b两点,圆内的动点p使|pa|,|po|,|pb|成等比数列,求的取值范围.【解析】(1)半径r=2,故圆o的方程为x2+y2=4.(2)因为圆o上有两点m,n关于直线x+2y=0对称,故mn的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数,等于2,设mn的方程为y=2x+b,即2x-y+b=0.由弦长公式可得,圆心o到直线mn的距离等于=1.由点到直线的距离公式可得故mn的方程为2x-y=0.(3)圆o与x轴相交于a(-2,0),b(2,0)两点,圆内的动点p使|pa|,|po|,|pb|成等比数列,所以|pa|pb|=|po|2,设点p(x,y),则有两边平方,化简可得x2=y2+2.由点p在圆内可得x2+y24,故有0y2b0)的右焦点f2与抛物线y2=4x的焦点重合,过f2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于s,t两点,与抛物线交于c,d两点,且 (1)求椭圆e的方程.(2)若过点m(2,0)的直线与椭圆e相交于两点a,b,设p为椭圆e上一点,且满足+=t(o为坐标原点),当|-|0,k20,所以k2,所以k2b0)的离心率为,右焦点为f,右顶点a在圆f:(x-1)2+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆c和圆f的方程.(2)已知过点a的直线l与椭圆c交于另一点b,与圆f交于另一点p.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点p恰好为线段ab的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆c的方程为=1,所以椭圆c的右顶点为a(2,0),代入圆f的方程,可得r2=1,所以圆f的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设b(x1,y1),则2+x1=,可得中点由点p在圆f上可得化简整理得k2=0,又因为k0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得oa是圆f的直径,所以opab.由点p是ab的中点,可得|ob|=|oa|=2.设点b(x1,y1),则由题意可得又因为直线l的斜率不为0,所以0).设抛物线w的焦点在直线ab的下方.(1)求k的取值范围.(2)设c为w上一点,且abac,过b,c两点分别作w的切线,记两切线的交点为d,判断四边形abdc是否为梯形,并说明理由.【解析】(1)抛物线y=x2的焦点为由题意,得直线ab的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线ab与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线w的焦点在直线ab的下方,所以1-k,解得k0,所以0kb0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切,a,b是椭圆的左、右顶点,直线l过b点且与x轴垂直. (1)求椭圆c的标准方程.(2)设g是椭圆c上异于a,b的任意一点,作ghx轴于点h,延长hg到点q使得hg=gq,连接aq并延长交直线l于点m,n为线段mb的中点,判定直线qn与以ab为直径的圆o的位置关系,并证明你的结论.【解析】(1)由题意可得因为以原点为圆心,椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切,所以=b,解得b=1.由a2=b2+c2,可得a=2.所以椭圆c的标准方程为+y2=1.(2)直线qn与以ab为直径的圆o相切,证明如下:由(1)可知a(-2,0),b(2,0),直线l的方程为x=2.设g(x0,y0)(y00),于是h(x0,0),q(x0,2y0),且有+=1,即4=4-.连接bq,设直线aq与直线bq的斜率分别为kaq,kbq, 即aqbq,所以点q在以ab为直径的圆上.因为直线aq的方程为 于是直线oq与直线qn垂直,所以直线qn与以ab为直径的圆o相切.22.(12分)已知椭圆c: =1(ab0)的右焦点为f,离心率为,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,o为坐标原点.(1)求椭圆c的方程.(2)设经过点m(0,2)作直线ab