高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法课件 新人教B版选修45.ppt

本章整合 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一含绝对值不等式的解法1 公式法 f x g x f x g x 或f x g x f x 2 g x 2 3 零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式 可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值 将这些值依次在数轴上标注出来 它们把数轴分成若干个区间 讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号 转化为不含绝对值的不等式去解 专题一 专题二 专题三 专题四 应用1解下列关于x的不等式 1 x x2 2 x2 3x 4 2 x 2 2x 5 2x 提示 根据绝对值的意义 先去掉绝对值符号 再解不等式 解 1 解法一 原不等式等价于x x2 2 x2 3x 4或x x2 2 x2 3x 4 故原不等式的解集为 x x 3 解法二 x x2 2 x2 x 2 x2 x 2 原不等式等价于x2 x 2 x2 3x 4 解得x 3 故原不等式的解集为 x x 3 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 求f x f1 x 对所有实数x成立的充要条件 用p1 p2表示 解 f x f1 x 恒成立 f1 x f2 x x p1 x p2 log32 若p1 p2 则 式 0 log32 显然成立 若p1 p2 记g x x p1 x p2 当p1 p2时 专题一 专题二 专题三 专题四 所以g x max p1 p2 故只需p1 p2 log32 当p1 p2时 所以g x max p2 p1 故只需p2 p1 log32 综上所述 f x f1 x 对所有实数x成立的充要条件是 p1 p2 log32 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型 1 和为定值时 积有最大值 2 积为定值时 和有最小值 在具体应用基本不等式解题时 一定要注意适用的范围和条件 一正 二定 三相等 应用1 1 已知0 x 2 求函数y x 8 3x 的最大值 提示 先通过恒等变形 使不等式具备 一正 二定 三相等 的条件 再应用基本不等式求最值 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 提示 适当变形后 可多次应用基本不等式 但应注意验证等号是否成立 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题 常见类型及其解法如下 1 分离参数法运用 f x a f x max a f x a f x min a 可解决恒成立中的参数范围问题 2 更换主元法不少含参不等式恒成立问题 若直接从主元入手非常困难或不可能时 可转换思维角度 将主元与参数互换 常可得到简捷的解法 3 数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时 若能数形结合 揭示问题所蕴含的几何背景 发挥形象思维与抽象思维各自的优势 可直观地解决问题 专题一 专题二 专题三 专题四 解 存在 理由 f x 在 1 上是减函数 k sinx k2 sin2x 1 假设存在实数k符合题意 k2 sin2x 1 即k2 1 sin2x对一切x r恒成立 且sin2x 0 k2 1 0 1 k 1 由k sinx k2 sin2x 专题一 专题二 专题三 专题四 应用2设有关于x的不等式lg x 3 x 7 a 1 当a 1时 解此不等式 2 当a为何值时 此不等式的解集是r 提示 对于 1 根据对数函数的单调性转化为绝对值不等式求解 2 可转化为函数最值问题求解 解 1 当a 1时 lg x 3 x 7 1 x 3 x 7 10 x 7或x7 专题一 专题二 专题三 专题四 2 设f x x 3 x 7 有f x x 3 x 7 10 当且仅当 x 3 x 7 0 即 3 x 7时 f x 取得最小值10 即lg x 3 x 7 1 故要使lg x 3 x 7 a的解集为r 只要a 1 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四不等式的证明证明不等式的主要方法有作差比较法 作商比较法 平方差比较法 综合法 分析法 其次还有反证法 放缩法 换元法 判别式法 构造函数法等 但这些方法不是孤立的 它们相互渗透 相辅相成 有的题目可以有多种证法 而有的题目要同时用几种方法才能解决 因此我们在平时解题中要通过一题多解 一解多法的反复训练 加强对各种方法的区别与联系的认识 把握每种方法的优点和缺点 从而不断提高我们分析问题和解决问题的能力 专题一 专题二 专题三 专题四 提示 本题可用分析法 综合法 比较法 三角代换法 构造函数法等证明 证明 证法一 1 当ac bd 0时 显然成立 2 当ac bd 0时 欲证原不等式成立 只需证 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 即证a2c2 2abcd b2d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 即证2abcd b2c2 a2d2 即证 bc ad 2 0 因为a b c d r 所以上式恒成立 故原不等式成立 综合 1 2 可知 原不等式成立 专题一 专题二 专题三 专题四 证法二 a2 b2 c2 d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 b2c2 2abcd a2d2 ac bd 2 bc ad 2 ac bd 2 证法三 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 bc ad 2 0 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 专题二 专题三 专题四 2 当a2 b2 0时 原不等式显然成立 综合 1 2 可知 原不等式成立 专题一 专题二 专题三 专题四 应用2用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半 证明 如图所示 在 abc中 cab 90 d是bc的中点 专题一 专题二 专题三 专题四 1 2 3 4 5 6 7 1 江西高考 在实数范围内 不等式 x 2 1 1的解集为 解析 原不等式等价于 1 x 2 1 1 即0 x 2 2 解得0 x 4 答案 0 4 1 2 3 4 5 6 7 2 重庆高考 若关于实数x的不等式 x 5 x 3 a无解 则实数a的取值范围是 域为 8 因为原不等式无解 所以只需a 8 故a的取值范围是 8 方法二 由绝对值不等式 得 x 5 x 3 x 5 x 3 8 故不等式 x 5 x 3 a无解时 a的取值范围为 8 答案 8 1 2 3 4 5 6 7 3 陕西高考 已知a b m n均为正数 且a b 1 mn 2 则 am bn bm an 的最小值为 解析 am bn bm an abm2 a2 b2 mn abn2 ab m2 n2 2 a2 b2 2abmn 2 a2 b2 4ab 2 a2 b2 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 4 辽宁高考 已知函数f x x a 其中a 1 1 当a 2时 求不等式f x 4 x 4 的解集 2 已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x 1 x 2 求a的值 当x 2时 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 当2 x 4时 f x 4 x 4 无解 当x 4时 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4 的解集为 x x 1或x 5 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 求a的值 2 求函数f x x a x 2 的最小值 2 因为 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 x 1 x 2 0 即 1 x 2时等号成立 所以f x 的最小值为3 1 2 3 4 5 6 7 6 课标全国 高考 已知函数f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当a 2时 求不等式f x g x 的解集 解 1 当a 2时 不等式f x g x 化为 2x 1 2x 2 x 3 0 设函数y 2x 1 2x 2 x 3 其图象如图所示 从图象可知 当且仅当x 0 2 时 y 0