【5年高考3年模拟】（新课标专用）高考数学一轮复习 试题分类汇编 椭圆及其性质（B）.doc

第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质考点一椭圆的定义和标准方程1.(2013课标全国,5,5分)设椭圆c:+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,p是c上的点,pf2f1f2,pf1f2=30,则c的离心率为()a.b.c.d.答案d2.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1,0),离心率等于,则c的方程是()a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1答案d3.(2013课标全国,21,12分)已知圆m:(x+1)2+y2=1,圆n:(x-1)2+y2=9,动圆p与圆m外切并且与圆n内切,圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程;(2)l是与圆p,圆m都相切的一条直线,l与曲线c交于a,b两点,当圆p的半径最长时,求|ab|.解析由已知得圆m的圆心为m(-1,0),半径r1=1;圆n的圆心为n(1,0),半径r2=3.设圆p的圆心为p(x,y),半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切,所以|pm|+|pn|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线c是以m、n为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x-2).(2)对于曲线c上任意一点p(x,y),由于|pm|-|pn|=2r-22,所以r2,当且仅当圆p的圆心为(2,0)时,r=2.所以当圆p的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|ab|=2.若l的倾斜角不为90,由r1r知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为q,则=,可求得q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆m相切得=1,解得k=.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|ab|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|ab|=.综上,|ab|=2或|ab|=.4.(2013陕西,20,13分)已知动点m(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点n(1,0)的距离的2倍.(1)求动点m的轨迹c的方程;(2)过点p(0,3)的直线m与轨迹c交于a,b两点,若a是pb的中点,求直线m的斜率.解析(1)设m到直线l的距离为d,根据题意,d=2|mn|.由此得|4-x|=2,化简得+=1,所以动点m的轨迹方程为+=1.(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2).将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,其中,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0,由求根公式得x1+x2=-,x1x2=.又因a是pb的中点,故x2=2x1,将代入,得x1=-,=,可得=,且k2,解得k=-或k=,所以直线m的斜率为-或.解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,a(x1,y1),b(x2,y2).a是pb的中点,x1=,y1=.又+=1,+=1,联立,解得或即点b的坐标为(2,0)或(-2,0),所以直线m的斜率为-或.考点二椭圆的性质5.(2013四川,9,5分)从椭圆+=1(ab0)上一点p向x轴作垂线,垂足恰为左焦点f1,a是椭圆与x轴正半轴的交点,b是椭圆与y轴正半轴的交点,且abop(o是坐标原点),则该椭圆的离心率是() a.b.c.d.答案c6.(2013辽宁,11,5分)已知椭圆c:+=1(ab0)的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a、b两点,连结af,bf.若|ab|=10,|bf|=8,cosabf=,则c的离心率为()a.b.c.d.答案b7.(2013福建,15,4分)椭圆:+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点m满足mf1f2=2mf2f1,则该椭圆的离心率等于.答案-18.(2013天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为f,离心率为,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设a、b分别为椭圆的左、右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点.若+=8,求k的值.解析(1)设f(-c,0),由=,知a=c.过点f且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)设点c(x1,y1),d(x2,y2),由f(-1,0)得直线cd的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.根据根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=.因为a(-,0),b(,0),所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由已知得6+=8,解得k=.9.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于a,a两点,|aa|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点p,p,过p,p作圆心为q的圆,使椭圆上的其余点均在圆q外.求ppq的面积s的最大值,并写出对应的圆q的标准方程.解析(1)由题意知点a(-c,2)在椭圆上,则+=1.从而e2+=1.由e=得b2=8,从而a2=16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设q(x0,0).又设m(x,y)是椭圆上任意一点,则|qm|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+8=(x-2x0)2-+8(x-4,4).设p(x1,y1),由题意,p是椭圆上到q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|qp|2=8-.由对称性知p(x1