高三数学一轮复习 第二章 函数 第二节 函数的单调性与最值课件 文.ppt

文数课标版 第二节函数的单调性与最值 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 教材研读 2 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是 增函数或 减函数 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 3 判断函数单调性的方法 i 定义法 利用定义判断 ii 利用函数的性质 如 若y f x y g x 为增函数 则a y f x g x 为增函数 b y 为减函数 f x 0 c y 为增函数 f x 0 d y f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 e y f x 为减函数 iii 利用复合函数关系判断单调性法则是 同增异减 即 若两个简单函数的单调性相同 则这两个函数的复合函数为增函数 若两个简单函数的单调性相反 则这两个函数的复合函数为减函数 iv 图象法 v 导数法 2 函数的最值 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 在增函数与减函数的定义中 可以把 任意两个自变量 改为 存在两个自变量 2 函数y 的单调递减区间是 0 0 3 所有的单调函数都有最值 1 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 a y x b y 3 xc y d y x2 4答案ay 3 x在r上递减 y 在 0 上递减 y x2 4在 0 上递减 故选a 2 函数y x2 6x 10在区间 2 4 上 a 递减b 递增c 先递减后递增d 先递增后递减 3 若函数y 2k 1 x b在r上是减函数 则k的取值范围是 答案解析因为函数y 2k 1 x b在r上是减函数 所以2k 1 0 即k 4 若函数f x 满足 对任意的x1 x2 r 当x1f x2 则满足f 2x 1 1 即x 1 x的取值范围为 1 5 已知f x x 2 6 则f x 的最大值为 最小值为 答案2 解析易知函数f x 在x 2 6 上为减函数 故f x max f 2 2 f x min f 6 考点一函数单调性的判断典例1 1 函数y 的单调递增区间为 单调递减区间为 2 判断函数f x a 0 在x 1 1 上的单调性 答案 1 2 3 解析 1 令u x2 x 6 则y 可以看作是由y 与u x2 x 6复合而成的函数 令u x2 x 6 0 得x 3或x 2 易知u x2 x 6在 3 上是减函数 在 2 上是增函数 而y 在 0 上是增函数 y 的单调减区间为 3 单调增区间为 2 考点突破 2 任取x1 x2 满足 10 x1x2 1 0 1 1 0 又 a 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上为减函数 答案cf x 3 x在 0 上为减函数 当x 时 f x x2 3x为减函数 当x 时 f x x2 3x为增函数 f x 在 0 上为增函数 f x x 在 0 上为减函数 考点二函数的最值 值域 典例2 1 函数y x 的最小值为 2 函数y 的值域为 3 函数f x 的最大值为 答案 1 1 2 3 2解析 1 解法一 令t 则t 0 且x t2 1 原函数变为y t2 1 t t 0 配方得y 又 t 0 y 1 故函数y x 的最小值为1 解法二 因为函数y x和y 在定义域内均为增函数 故函数y x 在 1 内为增函数 所以ymin 1 2 y 2 2 2 2 2 故函数的值域为 3 当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 方法技巧求函数最值的五种常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 2 1对于任意实数a b 定义min a b 函数f x x 3 g x log2x 则函数h x min f x g x 的最大值是 答案1解析依题意 h x 当02时 h x 3 x是减函数 则h x max h 2 1 3 2已知函数f x x3 3x 对任意的m 2 2 f mx 2 f x 0恒成立 则实数x的取值范围是 答案解析易知函数f x x3 3x为奇函数 f mx 2 f x 0可化为f mx 2 f x 又函数f x 单调递增 mx 2 x 即mx x 2 0 2 x 典例5已知函数f x 满足对任意的实数x1 x2都有 0成立 则实数a的取值范围为 a 0 1 b c d 答案c解析根据题意知函数f x 在定义域r上为减函数 则解得 a 故选c 命题角度三求参数 方法技巧函数单调性应用的技巧函数单调性的应用比较广泛 主要用来比较函数值的大小 解函数不等式 求相关参数的范围 求函数的最值等 1 比较两个函数值的大小若f x 在给定的区间a上是递增的 任取x1 x2 a 则x1f x2 若给定的两个自变量在同一单调区间上 可直接比较大小 否则 要先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上 再利用单调性比较大小 2 利用函数单调性解函数不等式解函数不等式的关键是利用函数的单调性去掉函数符号 f 变函数 不等式为一般不等式 去掉 f 时 要注意f x 的定义域的限制 3 利用函数的单调性求参数的取值范围依据函数单调性的定义 对给定区间内的任意两个不相等的自变量对应的函数值作差 满足函数关系式的自变量必须在定义域内