【三维设计】高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第五章 等差数列及其前n项和教学案（含解析）新人教A版.doc

第二节等差数列及其前n项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nn*，d为常数)2等差中项：数列a，a，b成等差数列的充要条件是a，其中a叫做a，b的等差中项二、等差数列的有关公式1通项公式：ana1(n1)d.2前n项和公式：snna1d.三、等差数列的性质1若m，n，p，qn*，且mnpq，an为等差数列，则amanapaq.2在等差数列an中，ak，a2k，a3k，a4k，仍为等差数列，公差为kd.3若an为等差数列，则sn，s2nsn，s3ns2n，仍为等差数列，公差为n2d.4等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当a10时前n项和sn有最小值d0时前n项和sn有最大值5等差数列an的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成snan2bn，则a，ba1，当d0时它表示二次函数，数列an的前n项和snan2bn是an成等差数列的充要条件小题能否全取1(2012福建高考)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()a1b2c3 d4解析：选b法一：设等差数列an的公差为d，由题意得解得故d2.法二：在等差数列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.2(教材习题改编)在等差数列an中，a2a6，则sin()a. b.c d解析：选da2a6，2a4.sinsincos.3(2012辽宁高考)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11()a58 b88c143 d176解析：选bs1188.4在数列an中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an_.解析：由an1an2知an为等差数列其公差为2.故an1(n1)22n1.答案：2n15(2012北京高考)已知an为等差数列，sn为其前n项和，若a1，s2a3，则a2_，sn_.解析：设an的公差为d，由s2a3知，a1a2a3，即2a1da12d，又a1，所以d，故a2a1d1，snna1n(n1)dn(n2n)n2n.答案：1n2n1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想(2)snn2nan2bnd2a.(3)利用二次函数的图象确定sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值2设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元等差数列的判断与证明典题导入例1在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且nn*)(1)求a2，a3的值；(2)设bn(nn*)，证明：bn是等差数列自主解答(1)a13，an2an12n3(n2，且nn*)，a22a12231，a32a223313.(2)证明：对于任意nn*，bn1bn(an12an)3(2n13)31，数列bn是首项为0，公差为1的等差数列由题悟法1证明an为等差数列的方法：(1)用定义证明：anan1d(d为常数，n2)an为等差数列；(2)用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数an为等差数列；(4)前n项和法：snan2bn或sn.2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义以题试法1已知数列an的前n项和sn是n的二次函数，且a12，a22，s36.(1)求sn；(2)证明：数列an是等差数列解：(1)设snan2bnc(a0)，则解得a2，b4，c0.故sn2n24n.(2)证明：当n1时，a1s12.当n2时，ansnsn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nn*)an1an4，数列an是等差数列.等差数列的基本运算典题导入例2(2012重庆高考)已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为sn，若a1，ak，sk2成等比数列，求正整数k的值自主解答(1)设数列an的公差为d，由题意知解得所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得snn(n1)因为a1，ak，sk2成等比数列，所以aa1sk2.从而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6.由题悟法1等差数列的通项公式ana1(n1)d及前n项和公式snna1d，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法以题试法2(1)在等差数列中，已知a610，s55，则s8_.(2)(2012江西联考)设等差数列an的前n项和为sn，若1，则公差为_解析：(1)a610，s55，解方程组得则s88a128d8(5)28344.(2)依题意得s44a1d4a16d，s33a1d3a13d，于是有1，由此解得d6，即公差为6.答案：(1)44(2)6等差数列的性质典题导入例3(1)等差数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则前9项和s9等于()a66b99c144 d297(2)(2012天津模拟)设等差数列an的前n项和sn，若s48，s820，则a11a12a13a14()a18 b17c16 d15自主解答(1)由等差数列的性质及a1a4a739，可得3a439，所以a413.同理，由a3a6a927，可得a69.所以s999.(2)设an的公差为d，则a5a6a7a8s8s412，(a5a6a7a8)s416d，解得d，a11a12a13a14s440d18.答案(1)b(2)a由题悟法1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系以题试法3(1)(2012江西高考)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.(2)(2012海淀期末)若数列an满足：a119，an1an3(nn*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()a6 b7c8 d9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.(2)an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设前k项和最大，则有即解得k.kn*，k7.故满足条件的n的值为7.答案：(1)35(2)b1(2011江西高考)an为等差数列，公差d2，sn为其前n项和若s10s11，则a1()a18b20c22 d24解析：选b由s10s11，得a11s11s100，a1a11(111)d0(10)(2)20.2(2012广州调研)等差数列an的前n项和为sn，已知a58，s36，则s10s7的值是()a24 b48c60 d72解析：选b设等差数列an的公差为d，由题意可得解得则s10s7a8a9a103a124d48.3(2013东北三校联考)等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()a10 b20c40 d2log25解析：选b依题意得，a1a2a3a105(a5a6)20，因此有log2(2a12a22a10)a1a2a3a1020.4(2012海淀期末)已知数列an满足：a11，an0，aa1(nn*)，那么使an0，an.an5，5.即n0，s110，s110，d0，并且a1a110，即a60，所以a50，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以s5最大，则k5.6数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nn*)若b32，b1012，则a8()a0 b3c8 d11解析：选b因为bn是等差数列，且b32，b1012，故公差d2.于是b16，且bn2n8(nn*)，即an1an2n8.所以a8a76a646a5246a1(6)(4)(2)02463.7(2012广东高考)已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.解析：设等差数列公差为d，由a3a4，得12d(1d)24，解得d24，即d2.由于该数列为递增数列，故d2.an1(n1)22n1.答案：2n18已知数列an为等差数列，sn为其前n项和，a7a54，a1121，sk9，则k_.解析：a7a52d4，则d2.a1a1110d21201，skk2k29.又kn*，故k3.答案：39设等差数列an，bn的前n项和分别为sn，tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析：an，bn为等差数列，.，.答案：10(2011福建高考)已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以sn2nn2.由sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kn*，故k7.11设数列an的前n项积为tn，tn1an，(1)证明是等差数列；(2)求数列的前n项和sn.解：(1)证明：由tn1an得，当n2时，tn1，两边同除以tn得1.t11a1a1，故a1，2.是首项为2，公差为1的等差数列(2)由(1)知n1，则tn，从而an1tn.故n.数列是首项为1，公差为1的等差数列sn.12已知在等差数列an中，a131，sn是它的前n项和，s10s22.(1)求sn；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值解：(1)s10a1a2a10，s22a1a2a22，又s10s22，a11a12a220，即0，故a11a222a131d0.又a131，d2，snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法一：由(1)知sn32nn2，故当n16时，sn有最大值，sn的最大值是256.法二：由sn32nn2n(32n)，欲使sn有最大值，应有1n0，a10a110，a10a110可知d0，a110，故t18a1a10a11a18s10(s18s10)60.3数列an满足an1an4n3(nn*)(1)若an是等差数列，求其通项公式；(2)若an满足a12，sn为an的前n项和，求s2n1.解：(1)由题意得an1an4n3，an2an14n1，得an2an4，an是等差数列，设公差为d，d2.a1a21，a1a1d1，a1，an2n.(2)a12，a1a21，a21.又an2an4，数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，a2n14n2，a2n4n5，s2n1(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(n1)24n(1)44n2n2.1已知数列an中，a1，an2(n2，nn*)，数列bn满足bn(nn*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由解：(1)证明：an2(n2，nn*)，bn.n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数故当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.2已知等差数列an的前n项和为sn，且满足：a2a414，s770.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则有即解得所以an3n2.(2)因为sn1(3n2)，所以bn3n12 123，当且仅当3n，即n4时取等号，故数列bn的最小项是第4项，该项的值为23.3已知数列an，对于任意n2，在an1与an之间插入n个数，构成的新数列bn成等差数列，并记在an1与an