高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.11.1.2 平均变化率、瞬时变化率——导数（一）课件 苏教版选修22.ppt

1 1 1平均变化率1 1 2瞬时变化率 导数 一 第1章1 1导数的概念 1 理解函数平均变化率 瞬时变化率的概念 2 掌握函数平均变化率的求法 3 掌握导数的概念 会用导数的定义求简单函数在某点处的导数 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一函数的平均变化率1 平均变化率的概念设函数y f x x1 x2是其定义域内不同的两个点 那么函数的变化率可用式子表示 我们把这个式子称为函数y f x 从x1到x2的 习惯上用 x表示x2 x1 即 x x2 x1 可把 x看作是相对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2 类似地 y 于是 平均变化率可以表示为 答案 平均 变化率 f x2 f x1 2 求平均变化率求函数y f x 在 x1 x2 上平均变化率的步骤如下 1 求自变量的增量 x 2 求函数值的增量 y x2 x1 f x2 f x1 答案 答案 思考 1 如何正确理解 x y 答案 x是一个整体符号 而不是 与x相乘 其值可取正值 负值 但 x 0 y也是一个整体符号 若 x x1 x2 则 y f x1 f x2 而不是 y f x2 f x1 y可为正数 负数 亦可取零 答案 2 平均变化率的几何意义是什么 答案如图所示 y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 越大 曲线y f x 在区间 x1 x2 上越 陡峭 反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率 若函数y f x 图象上有两点a x1 f x1 b x2 f x2 则 kab 答案 知识点二瞬时变化率与瞬时速度 瞬时加速度把物体在某一时刻的速度称为 做直线运动的物体 它的运动规律可以用函数s s t 描述 设 t为时间改变量 在t0 t这段时间内 物体的位移 即位置 改变量是 s 那么位移改变量 s与时间改变量 t的比就是这段时间内物体的平均速度 即 瞬时速度 s t0 t s t0 答案 一般地 如果当 t无限趋近于0时 运动物体位移s t 的平均变化率无限趋近于一个常数 那么这个常数称为物体在t t0时的瞬时速度 也就是位移对于时间的 一般地 如果当 t无限趋近于0时 运动物体速度v t 的平均变化率无限趋近于一个常数 那么这个常数称为物体在t t0时的瞬时加速度 也就是速度对于时间的瞬时变化率 瞬时变化率 答案 思考 1 瞬时变化率的实质是什么 答案其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值 它是刻画函数值在某处变化的快慢 2 平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么 答案 区别 平均变化率刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢 联系 当 x趋于0时 平均变化率趋于一个常数 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率 它是一个固定值 答案 知识点三导数的概念1 函数y f x 在x0处的导数设函数y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 若 x无限趋近于0时 比值 无限趋近于一个常数a 则称f x 在x x0处 并称该常数a为函数f x 在x x0处的 记作f x0 a或常用符号 表示 无限趋近于 于是简记为 当 x 0时 可导 导数 2 导函数如果函数y f x 在区间 a b 内每一点都可导 则称f x 在区间 a b 内可导 此时f x 构成一个新的函数 称这个函数为y f x 的导函数 简称为导数 答案 思考 1 如何理解f x 在x0处不可导 2 f x 在区间 a b 内的导函数与f x0 x0 a b 有何联系与区别 答案f x 在区间 a b 内的导函数f x 是x的函数式 f x0 是函数f x 在x0处的导数 为一个定值 返回 题型探究重点突破 解析答案 反思与感悟 题型一求平均变化率例1求函数y f x 2x2 3在x0到x0 x之间的平均变化率 并求当x0 2 x 时该函数的平均变化率 解当自变量从x0变化到x0 x时 函数的平均变化率为 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 1 已知函数y f x 2x2 1的图象上一点 1 1 及其邻近一点 1 x 1 y 则 解析 y f 1 x f 1 2 x 2 4 x 2 x 4 解析答案 解析答案 题型二实际问题中的瞬时速度例2一作直线运动的物体 其位移s与时间t的关系是s 3t t2 位移单位 m 时间单位 s 1 求此物体的初速度 所以当 t 0时 v 3 即物体的初速度为3m s 解析答案 2 求此物体在t 2时的瞬时速度 即此物体在t 2时的瞬时速度为1m s 方向与初速度方向相反 t 1 故 t 0时 其值为 1 3 求t 0到t 2时的平均速度 即t 0到t 2时的平均速度为1m s 反思与感悟 反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的 t趋近于0 指时间间隔 t越来越小 但不能为0 t s在变化中都趋近于0 但它们的比值趋近于一个确定的常数 解析答案 跟踪训练2已知一物体作自由落体运动 下落的高度的表达式为s gt2 其中g为重力加速度 g 9 8米 平方秒 s的单位 米 1 求t从3秒到3 1秒 3 01秒 3 001秒 3 0001秒各段内的平均速度 解当t在区间 3 3 1 上时 t 3 1 3 0 1 秒 解析答案 2 求t 3秒时的瞬时速度 所以t 3秒时的瞬时速度约为29 4米 秒 解析答案 题型三函数在某点处的导数 从而y x 1 2 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 因对导数的概念理解不到位致误 例4设函数f x 在x0处可导 且f x0 已知 求下列各式的值 易错易混 解析答案 返回 防范措施 解析答案 错因分析在导数的定义中 增量 x的形式是多种多样的 但不论 x是哪种形式 y必须选择相对应的形式 如 1 中 x的改变量为 x x0 x0 x 2 中 x的改变量为2h x0 h x0 h 防范措施 防范措施 防范措施 自变量的改变量 x的值为变后量与变前量之差 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 在求解平均变化率时 自变量的变化量 x应满足 x 0 x 0 x 0 x可为任意实数 解析答案 2 沿直线运动的物体从时间t到t t时 物体的位移为 s 那么当 t 0时 的物理意义为 t时刻物体的瞬时速度 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 5