高中数学 第2章 数列 2.2.2 等差数列的通项公式课件 苏教版必修5.ppt

2 2 2等差数列的通项公式 目标导航 预习引导 目标导航 预习引导 1 等差数列 1 等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项为a1 公差为d 则 an 的通项公式为an a1 n 1 d 2 从函数角度研究等差数列等差数列的通项公式an a1 n 1 d d 0 是关于n的一次式 从图象上看 这个数列的各点 n an 在直线y dx a1 d 上 预习交流1等差数列 an 的通项公式一定是关于n的一次函数吗 提示 不一定 当数列 an 为常数列时 如1 1 1 其通项公式an 1 是常函数而非一次函数 目标导航 预习引导 2 等差数列的性质 1 an am n m d m n n 特别地 am n an md 2 若m n p q 则am an ap aq m n p q n 3 若 则am an 2ak m n k n 4 an 是有穷等差数列 则与首末两项等距离的两项之和都相等 且等于首末两项之和 即a1 an a2 an 1 ak an k 1 5 数列am am k am 2k am 3k m k n 成公差为kd的等差数列 其中d为 an 的公差 6 若 an bn 是公差分别为d1 d2的等差数列 则 c an c为任一常数 是公差为d1的等差数列 c an c为任一常数 是公差为cd1的等差数列 an an k k为常数 k n 是公差为2d1的等差数列 pan qbn p q为常数 是公差为pd1 qd2的等差数列 目标导航 预习引导 预习交流2若等差数列中 am an ap aq m n p q n 则一定有m n p q吗 提示 不一定 若数列 an 是常数列 不一定有m n p q 预习交流3 1 在等差数列 an 中 若a1 a8 a15 15 能否用等差数列的性质求a7 a9 提示 能 由a1 a8 a15 15 得3a8 15 a8 5 则a7 a9 2a8 10 2 数列 an bn 都是等差数列 且a1 15 b1 35 a2 b2 70 则a3 b3 提示 数列 an bn 都是等差数列 an bn 也构成了等差数列 a2 b2 a1 b1 a3 b3 a2 b2 a3 b3 90 一 二 三 一 求等差数列的通项公式或特定项活动与探究例1 1 在等差数列 an 中 已知a5 10 a12 31 求首项a1与公差d 思路分析 设首项与公差 根据条件列出方程组求解 一 二 三 迁移与应用1 已知等差数列 an 中 a2 6 a5 15 若bn a2n 则b15 答案 90 一 二 三 一 二 三 名师点津1 求等差数列的通项公式 项 项数的问题是等差数列最基本的问题 利用已知条件求等差数列的首项和公差是常用方法 应牢记等差数列的通项公式 2 在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 如果条件与结论间的联系不明显 则均可化成有关a1 d的关系列方程组求解 但是 要注意公式的变形及整体计算 以减少计算量 一 二 三 二 等差数列的性质及应用活动与探究例2 1 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 求a2 a8的值 2 等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求数列 an 的通项公式 思路分析 1 只给出一个条件无法用基本量法求a1 d 但可用设而不求的方法 整体代换可使问题得解 也可用等差数列的性质求解 2 注意题中数列的项的下标构成等差数列 考虑用等差数列的性质解决 一 二 三 解 1 方法一 设首项为a1 公差为d 由已知有5a1 20d 450 a1 4d 90 a2 a8 2a1 8d 2 a1 4d 2 90 180 方法二 由等差数列的性质 得a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 a5 90 a2 a8 2a5 2 90 180 2 a1 a7 a2 a6 2a4 a1 a4 a7 3a4 15 a4 5 a2 a6 10且a2a6 9 a2 a6是方程x2 10 x 9 0的两根 若a2 1且a6 9 则公差d 2 an 2n 3 若a2 9且a6 1 则公差d 2 an 13 2n 故an 2n 3或an 13 2n 一 二 三 迁移与应用1 等差数列 an 单调递增 且a3 a6 a9 12 a3 a6 a9 28 则此数列的通项公式an 答案 n 2解析 a3 a9 2a6 a6 4 a3 a9 8 a3 a9 7 a3 a9是一元二次方程x2 8x 7 0的两个根 又 an 单调递增 a3 1 a9 7 d 1 从而an a3 n 3 d 1 n 3 n 2 一 二 三 2 在等差数列 an 中 a3 a7 37 则a2 a4 a6 a8 答案 4解析 a2 a8 a3 a7 a4 a6 37 a2 a4 a6 a8 2 37 74 3 在等差数列中 1 已知a1 a6 12 a4 7 求a9 2 已知a1 a5 a9 a13 a17 117 求a3 a15 解 1 a1 a6 a3 a4 12 又a4 7 a3 5 d a4 a3 2 a9 a4 9 4 d 7 5 2 17 2 a1 a17 a5 a13 2a9 a9 117 a3 a15 2a9 2 117 234 一 二 三 名师点津1 已知数列中某些项与项之间的关系 求通项 一般可利用等差数列的通项公式或等差数列的性质解题 2 要记忆等差数列的常见性质 以便在解题中灵活应用 注意解题过程中整体代换与方程思想的运用 一 二 三 三 等差数列的实际应用活动与探究例3梯子的最高一级宽33cm 最低一级宽110cm 中间还有10级 各级宽度依次成等差数列 计算中间各级的宽度 思路分析 要求梯子中间各级的宽度 必须知道各级宽度组成的等差数列的公差 又梯子的级数是12 因此 该问题相当于已知等差数列的首项 末项及项数求公差 一 二 三 解 设梯子的第n级的宽为ancm 其中最高一级宽为a1cm 则数列 an 是等差数列 由题意 得a1 33 a12 110 n 12 则a12 a1 11d 所以110 33 11d 解得 d 7 所以a2 33 7 40 a3 40 7 47 a11 96 7 103 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm 47cm 54cm 61cm 68cm 75cm 82cm 89cm 96cm 103cm 一 二 三 迁移与应用1 某地夏季山上的温度从山底起 每升高100m降低0 7 已知山顶处温度是14 8 山底处温度是26 则该山相对于山底处的高度为 答案 1600m解析 建立等差数列的模型 山底处温度记为a1 26 山顶处温度an 14 8 公差d 0 7 an a1 n 1 d 14 8 26 n 1 0 7 解得 n 17 山高为16 100 1600 m 一 二 三 2 有一正四棱台形楼顶 其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块 总共需要铺瓦15行 并且下一行比其上一行多铺3块瓦 求该侧面最下面一行铺瓦多少块 分析 转化为求等差数列的第15项 解 设从上面开始第n行铺瓦an块 则数列 an 是首项为30 公差为3的等差数列 则a15 a1 14d 30 14 3 72 块 即该侧面最下面一行铺瓦72块 一 二 三 名师点津一个实际问题能够抽象成等差数列的数学模型 首先必须是一个与正整数有联系的问题 其次 还要讨论是不是等差数列 解题的一般步骤是 建立等差数列模型 根据等差数列知识解决问题 还原成实际问题 得出解决方案 2 3 4 5 1 6 1 数列 an 的通项公式an 2n 5 则此数列 a 是公差为2的等差数列b 是公差为5的等差数列c 是首项为5的等差数列d 是公差为n的等差数列答案 a解析 an 1 an 2 n 1 5 2n 5 2 数列 an 是公差为2的等差数列 2 3 4 5 1 6 2 已知数列 an bn 为等差数列 且公差分别为d1 2 d2 1 则数列 2an 3bn 的公差为 a 7b 5c 3d 1答案 d解析 2an 1 3bn 1 2an 3bn 2 an 1 an 3 bn 1 bn 2d1 3d2 4 3 1 2 3 4 5 1 6 3 在等差数列 an 中 已知am n a am n b 则am 2 3 4 5 1 6 4 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 答案 2解析 a1 a5 10 2a3 a3 5 故d a4 a3 7 5 2 2 3 4 5 1 6 5 在等差数列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 求数列 an 的通项公式 解 由a3 a4 a5 84 a9 73得3a4 84 a4 28 an a4 n 4 d 28 n 4 9 9n 8 an 9n 8 2 3 4 1 6 5 6 1 已知等差数列 an 中 a2 a6 a10 1 求a4 a8的值