高三数学 黄金考点汇编05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）理（含解析）.doc

考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【考点分类】热点一 函数的单调性1【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间为增函数的是 （ ）a b c d 2【2014高考福建卷第4题】若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ） 3【2014浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） 4【2014辽宁高考理第3题】已知，则（ ）a b c d 5【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）（a） （b） （c）（d） 6【2014天津高考理第4题】函数的单调递增区间是 （）（a） （b） （c） （d） 7【2014高考湖南卷第10题】已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）a b c d 【答案】b 8【2014高考上海理科第18题】若是的最小值，则的取值范围为（ ） (a)-1，2 (b)-1，0 (c)1，2 (d) 【方法规律】1对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解(2)可导函数则可以利用导数解之但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行2求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间3函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0，若函数是增函数，则f(x1) f(x2)x1x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行【易错点睛】误区1 用定义证明函数的单调性时，错用“自己证明自己”而致错（循环论证）误区2求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错【例2】（2014浙江宁波十校联考）求y的单调区间【错解】令tx24x12，则tx24x12在(，2上递减，在2，)上递增，又y是增函数，所以y的单调区间是(，2与2，)，其中在(，2上递减，在2，)上递增【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域x|x2或x6【正解】由x24x120，得x2或x6，令tx24x12，则t(x2)216在(，2上是减函数，在2，)上是增函数又y是增函数，所以y的单调区间是(，2与6，)，其中在(，2上递减，在6，)上递增【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识误区3 忽视隐含条件致误【例3】已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()a(0，1) b(0，) c，) d，1)【错解】误选b项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在r上为减函数，还需使得f(x)(3a1)x4a在x1上的最小值不小于f(x)logax在x1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误【正解】据题意使原函数在定义域r上为减函数，只需满足：a故选c【点评】一般地，若函数f(x)在区间a，b)上为增函数，在区间b，c上为增函数，则不一定说明函数f(x)在a，c为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在a，c上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在a，c上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在a，c上为增函数，即只需f(x)在a，b)上的最大值不大于f(x)在b，c上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上也是减函数，但不能说f(x)在(，0)(0，)上是减函数，因为当x11，x21时，有f(x1)1f(x2)1不满足减函数的定义(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“”将它们连接起来，例如：函数yx33x的单调增区间有两个：(，1)和(1，)不能写成(，1)(1，)热点二 函数的奇偶性1【2014高考湖北卷理第10题】已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为（ ）a b c d 2【2014高考湖南卷第3题】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( )a b c 1 d 3 3【2014全国1高考理第3题】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）a是偶函数 b 是奇函数 c是奇函数 d是奇函数 4【2014四川高考理第9题】已知，现有下列命题：；其中的所有正确命题的序号是（ ）a b c d 5【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】定义域为的四个函数，中，奇函数的个数是( )a b c d【答案】c【解析】奇函数的为与，和为非奇非偶函数，故选c6【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】已知函数为奇函数，且当时， ，则 ( )a b c d 【答案】a【解析】7【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设为实常数，是定义在r上的奇函数，当时，若对一切成立，则的取值范围为_ 8【2014高考上海理科第20题】设常数，函数（1） 若=4，求函数的反函数；（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由不是奇函数也不是偶函数【方法规律】1判断函数奇偶性的方法(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性(3)组合函数奇偶性的判定方法两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”(4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结论，如典例1(3)只有得到当x0时都有f(x)f(x)才能给出偶函数的结论2函数奇偶性的应用技巧(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式(2)已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f(x)f(x)0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值(3)奇偶性与单调性的综合问题要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f(x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数误区不明分段函数奇偶性概念致错【例1】（2014北京东城期末）判断f(x)的奇偶性【错解】当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)所以f(x)是奇函数【剖析】漏x0情况【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f(x)f(x)成立，但当x0时，f(0)3f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数热点三 函数的周期性1【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ）a奇函数 b偶函数 c增函数 d 周期函数 2【2014四川高考理第12题】设是定义在r上的周期为2的函数，当时，则 3【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】设是以2为周期的函数，且当时， 【方法规律】1 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数t叫f(x)的周期如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫f(x)的最小正周期(2)周期函数不一定有最小正周期，若t0是f(x)的周期，则kt(kz)(k0)也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无上、下界2 函数周期性的相关结论设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa)；f(xa)；f(xa)f(xa)，则f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期(以上各式中分母均不为零)【解题技巧】求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yasin(x)，用公式t计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期t2a换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期t2a热点四 函数性质的综合应用1【2014高考福建卷第7题】已知函数则下列结论正确的是（ ）a. 是偶函数 b 是增函数 c是周期函数 d的值域为 2【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在点使，则的取值范围是（ ）（a） （b） （c） （d） 3【2014全国2高考理第15题】已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_【方法规律】1解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象2 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数特别地，有以下结论(其中a0)：若f(x)有对称轴xa，且是偶函数，则f(x)的周期为2a；若f(x)有对称轴xa，且是奇函数，则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a，0)，且是偶函数，则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a，0)，且是奇函数，则f(x)的周期为2a【易错点睛】误区1函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在r上，且对常数t0，恒有f(xt)f(x)，则在区间0，2t上，方程f(x)0根的个数至少有 ()a3个 b4个 c5个 d6个【错解】由f(x)是r上的奇函数，得f(0)0x10再由f(xt)f(x)得f(2t)f(t)f(0)0x2t，x32t即在区间0，2t上，方程f(x)0根的个数最小值为3个【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇即解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程和互动【正解】由方程得f(0)0x10再由方程得f(2t)f(t)f(0)0x2t，x32t又f(x)f(x)，令x0得f()f()又f()f()，f()0，x4再由得f(t)0x5，故方程f(x)0至少有5个实数根故选c误区2忽视隐含条件的挖掘致误【例2】（2014江苏模拟）设f(x)是定义在r上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，br若f()f()，则a3b的值为_【错解】因为f(x)的周期为2，所以f()f(2)f()，即f()f()又因为f()a1，f()，所以a1，3a2b2【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(1)f(1)，从而无法求出a、b的值【正解】因为f(x)的周期为2，所以f()f(2)f()，即f()f()又因为f()a1，f()，所以a1整理，得a(b1)又因为f(1)f(1)，所以a1，即b2a 将代入，得a2，b4所以a3b23(4)10【考点剖析】一最新考试说明：1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性2理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性3利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值二命题方向预测：1利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点2函数的奇偶性是高考考查的热点3函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点3题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题三课本结论总结：1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等2若奇函数定义域中有0，则必有即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件 对于偶函数而言有：3确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等4若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和5既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）6复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）7函数与函数的图像关于直线（轴）对称推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称8函数与函数的图像关于直线（轴）对称推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）9函数与函数的图像关于坐标原点中心对称推广：函数与函数的图像关于点中心对称10函数与函数的图像关于直线对称推广：曲线关于直线的对称曲线是；曲线关于直线的对称曲线是11曲线绕原点逆时针旋转，所得曲线是（逆时针横变再交换）特别：绕原点逆时针旋转，得，若有反函数，则得曲线绕原点顺时针旋转，所得曲线是（顺时针纵变再交换）特别：绕原点顺时针旋转，得，若有反函数，则得12类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为如果函数的图像有下一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为如果是r上的周期函数，且一个周期为，那么特别：若恒成立，则若恒成立，则若恒成立，则如果是周期函数，那么的定义域“无界”四、名师二级结论：一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性两个应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01，f(x)0四条性质1若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)02设f(x)，g(x)的定义域分别是d1，d2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性4若f(x)是偶函数，则有f(-x)f(x)f(|x|)五、课本经典习题：(1)新课标人教a版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式变式题：关于函数，有下列命题：其图象关于轴对称；当时，是增函数；当时，是减函数；的最小值是；在区间上是增函数；无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是 (2)新课标人教a版必修一第44页复习参考题a组第八题设，求证：（1）；（2）【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展改编：设定在r上的函数满足：，则解：由得 由所求式子特征考查：(3)新课标人教a版必修一第83页复习参考题b组第3题对于函数（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使为奇函数？【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展改编 对于函数（1）用定义证明：在r上是单调减函数；（2）若是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）0证明：（1）设，则f（）-f（）=-=-0，0，0即f（）-f（）0f（x）在r上是单调减函数（2）是奇函数，f（0）=0a=-1（3）由（1）（2）可得在r上是单调减函数且是奇函数，f（2t+1）+f（t-5）0转化为f（2t+1）-f（t-5）=f（-t+5），2t+1-t+5t，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）0的解集为：t|t(4)新课标人教a版必修一第83页复习参考题b组第4题设，求证：（1）；（2）；（3）【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展改编1：设，给出如下结论：对任意，有；存在实数，使得；不存在实数，使得；对任意，有；其中所有正确结论的序号是改编2：已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是六考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】已知函数是偶函数，且，当时，则方程在区间上的解的个数是（ ）a8 b9 c10 d11 (2) 函数的周期性与函数的零点交汇例2【2014高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3【2014高考江苏第19题】已知函数，其中是自然对数的底数（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论 （3）由题意，不等式在上有解，由得，记，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，于是在上有解，等价于，即考察函数【考点特训】1【广州市珠海区2015届高三8月摸底考试5】下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )a b c d 2【北京市重点中学2015届高三8月开学测试3】已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）a是偶函数 b在上是增函数 c是周期函数 d的值域为【答案】d【解析】试题分析：a：当时， 3【河南省安阳一中2015届高三第一次月考2】函数的单调递增区间为( )a(0，) b(，0) c(2，) d(，2) 4【河南省安阳一中2015届高三第一次月考4】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则（ ）a b c d 5【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试9】已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(4x)f(x)，且当x(1，3时，f(x)，则函数g(x)f(x)|lgx|的零点个数是 （ ）a、7b、8c、9d、10 6【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一）】若的图像是中心对称图形，则( )a4 b c2 d 7【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一）】若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是( )a函数是奇函数 b函数是奇函数c函数是奇函数 d函数是奇函数【答案】c 8【2014年石景山区高三统一测试（理）】下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（ ）ab cd 9【北京市顺义区2014届高三第一次统考（理）】已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是 （ ） （a） （b） （ c） （ d） 10【上海市松江区2014届高三上学期期末考试数学（理）试题】已知实数，对于定义在上的函数，有下述命题：“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；“是的一个周期”的充要条件是“对任意的，都有”； “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”其中正确命题的序号是a b c d 11【广东省揭阳市2014届高三3月高考第一次模拟考试】下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）a b c d在区间上单调递增，合乎题意，故选d考点：函数的奇偶性与单调性12【2013年浙江省第二次五校联考】设，函数在单调递减，则（ ）a在上单调递减，在上单调递增 b在上单调递增，在上单调递减c在上单调递增，在上单调递增 d在上单调递减，在上单调递减 13【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知是定义域为实数集的偶函数，若，则如果，那么的取值范围为 （ ）（a）（b）（c） （d） 14【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知函数：，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是( )命题是奇函数； 命题在上是增函数；命题； 命题的图像关于直线对称a命题 b命题 c命题 d命题 15【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知函数是上的奇函数且满足，则 的值为( )a0 b 1 c 2 d4 16【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试12】已知偶函数在单调递减