【创新设计】高考数学一轮复习 第十三章 第1讲 合情推理与演绎推理知识点 新人教A版 .doc

第1讲合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异知 识 梳 理1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()2数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()a28 b32 c33 d27解析523，1156，20119，推出x2012，所以x32.答案b3顾客请一位工艺师把a，b两件玉石原料各制成一件工艺品工艺师带一位徒弟完成这项任务每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：工序时间原料粗加工精加工原料a915原料b621则最短交货期为_个工作日解析先由徒弟粗加工原料b，6个工作日，再由师傅精加工21个工作日，在这期间徒弟再粗加工原料a，9工作日不计，再由师傅精加工15个工作日，共有6211542.答案424(2014福建卷)已知集合a，b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于_解析可分下列三种情形：(1)若只有正确，则a2，b2，c0，又a2且b2，c2与c0矛盾，此时不合题意；(2)若只有正确，则a2，b2与集合中元素的互异性矛盾，此时不合题意；(3)若只有正确，则a2，b2，c0，即有a2，b0，c1(符合题意)100a10bc10021001201.答案2015(人教a选修22p93a5改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nn*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3bn_答案b1b2b3b4b17n(n17，nn*)考点一归纳推理【例1】 (2014海口调研)如图是按一定规律排列的三角形等式表，现将等式从左至右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为20213，第二个等式为20225，第三个等式为21226，第四个等式为20239，第五个等式为212310，依此类推，则第99个等式为()20213202252122620239212310222312202417212418222420232424a272138 320 b2721416 512c2821416 640 d282138 448解析依题意，用(t，s)表示2t2s，题中的等式的规律为：第一行为3(0，1)；第二行为5(0，2)，6(1，2)；第三行为9(0，3)，10(1，3)，12(2，3)；第四行为17(0，4)，18(1，4)，20(2，4)，24(3，4)；，又因为99(12313)8，因此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置，即是2721416 512，故选b.答案b规律方法归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法【训练1】 (2015济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 5 9 15 23 11 17 25 19 27 29 则第30行从左到右第3个数是_解析先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是146810601929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是92960621 051.答案1 051考点二类比推理【例2】 (1)若数列an是等差数列，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()adn bdncdn ddn(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析(1)法一从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn.法二若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故选d.(2)由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.答案(1)d(2)18规律方法在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【训练2】 把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r(其中a，b为直角三角形两直角边长)类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径r_解析由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径答案考点三演绎推理【例3】 数列an的前n项和记为sn，已知a11，an1sn(nn*)证明：(1)数列是等比数列；(2)sn14an.证明(1)an1sn1sn，an1sn，(n2)snn(sn1sn)，即nsn12(n1)sn.2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，sn14(n1)4sn14an(n2)，(小前提)又a23s13，s2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略【训练3】 “因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”，以上推理的错误是()a大前提错误导致结论错误b小前提错误导致结论错误c推理形式错误导致结论错误d大前提和小前提错误导致结论错误解析当a1时，函数ylogax是增函数；当0a1时，函数ylogax是减函数故大前提错误导致结论错误答案a思想方法1合情推理的过程概括为2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行易错防范1合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性3合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()af(x) bf(x) cg(x) dg(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)答案d2观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()a28 b76 c123 d199解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案c3平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()an1 b2nc. dn2n1解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域，选c.答案c4(2014北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()a2人 b3人 c4人 d5人解析用a，b，c分别表示优秀、及格和不及格，而语文成绩得a的学生最多只有1个，语文成绩得b的也最多只有1个，语文成绩得c的也最多只有1个，因此学生最多只有3个，显然(a，c)，(b，b)，(c，a)，满足条件故学生最多3个答案b5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()a1 b2 c3 d4解析正确；错误答案b二、填空题6(2015东北三省三校联考)观察下列等式：1312，132332，13233362根据上述规律，第n个等式为_解析观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为1323n3.答案1323n37(2014南昌模拟)观察下列等式：2335，337911，4313151719，532123252729，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于_解析依题意，注意到从23到m3(m2，mn)的分拆中共含有23m个正整数，且最大的正整数为21(m1)(m2)1，且109(101)(102)1，因此所求的正整数m10.答案108命题p：已知椭圆1(ab0)，f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一个动点，过点f2作f1pf2的外角平分线的垂线，垂足为m，则om的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线1(a0，b0)，f1，f2是双曲线的两个焦点，p为双曲线上的一个动点，过点f2作f1pf2的_的垂线，垂足为m，则om的长为定值解析对于椭圆，延长f2m与f1p的延长线交于q.由对称性知，m为f2q的中点，且pf2pq，从而omf1q且omf1q.而f1qf1ppqf1ppf22a，所以oma.对于双曲线，过点f2作f1pf2内角平分线的垂线，垂足为m，类比可得oma.答案内角平分线三、解答题9给出下面的数表序列：表1表2表31 13135 4 4812其中表n(n1，2，3，)有n行，第1行的n个数是1，3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812 1220 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列10f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).能力提升题组(建议用时：25分钟)11给出下面类比推理命题(其中q为有理数集，r为实数集，c为复数集)：“若a，br，则ab0ab”类比推出“若a，bc，则ab0ab”；“若a，b，c，dr，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dq，则abcdac，bd”；若“a，br，则ab0ab”类比推出“若a，bc，则ab0ab”其中类比结论正确的个数是()a0 b1 c2 d3解析正确，错误因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小答案c12古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()a289 b1 024 c1 225 d1 378解析观察三角形数：1，3，6，10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观察正方形数：1，4，9，16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案c13(2015武汉调研)在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法，请你计算“123234n(n1)(n2)”，其结果是_(结果写成关于n的一次因式的积的形式)解析先改写第k项：k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得123(12340123)，234(23451234)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)，相加得123234n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)答案n(n1)(n2)(n3)14在rtabc中，abac，adbc于d，求证：，那么在四面体abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由证明如图所示，由射影定理，得ad2bddc，ab2bdbc，ac2bcdc，.又bc2ab2ac2，.猜想，在四面体abcd中，ab，ac，ad两两垂直，ae平面bcd，则.证明：如图，连接be并延长交cd于f，连接af.abac，abad，acada，ab平面acd，又af平面acd，abaf.在rtabf中，aebf，.在rtacd中，afcd，.第2讲直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解反证法的思考过程和特点知 识 梳 理1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()2(2014山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()a方程x3axb0没有实根b方程x3axb0至多有一个实根c方程x3axb0至多有两个实根d方程x3axb0恰好有两个实根解析因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案a3设alg 2lg 5，bex(xb babcab dab解析alg 2lg 51，bex，当x0时，0bb.答案a4若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()aac2abb2c.解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案b5(人教a选修22p96例1改编)在abc中，三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，a，b，c成等比数列，则abc的形状为_解析由题意2bac，又abc，b，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，ac，abc，abc为等边三角形答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】 设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.当且仅当abc时，等号成立(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.当且仅当abc时，等号成立规律方法用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱【训练1】 在abc中，设a，b，求证：sabc.证明sabc|a|b|sin c，cos c，s|a|2|b|2sin2c|a|2|b|2(1cos2c)|a|2|b|2|a|2|b|2(ab)2sabc.考点二分析法的应用【例2】 已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.规律方法(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证只需证”或用“”注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写【训练2】 已知m0，a，br，求证：.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证考点三反证法的应用【例3】 设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列(1)解设an的前n项和为sn，当q1时，sna1a1a1na1；当q1时，sna1a1qa1q2a1qn1.qsna1qa1q2a1qn，得，(1q)sna1a1qn，sn，sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kn*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列规律方法用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的【训练3】 已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根证明由于a0，因此方程至少有一个根x.假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b，ax2b，由得a(x1x2)0，因为x1x2，所以x1x20，所以a0，这与已知矛盾，故假设错误所以当a0时，方程axb有且只有一个根.思想方法1综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件2分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来3利用反证法证明数学问题时，要假设结论不成立，并用假设的命题进行推理，不用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的易错防范注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若a，br，则下面四个式子中恒成立的是()alg(1a2)0 ba2b22(ab1)ca23ab2b2 d.1，a，b，则以下结论正确的是()aab ba0(m1)，即ab.答案b3“a”是“对任意正数x，均有x1”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析当a时，x21，当且仅当x，即x时取等号；反之，显然不成立答案a4分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()aab0 bac0c(ab)(ac)0 d(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案c5已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，br，|a|b|40，2.答案27下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立答案8设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填上序号)答案三、解答题9若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10设数列an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和(1)求证：数列sn不是等比数列；(2)数列sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列sn是等比数列，则ss1s3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列sn不是等比数列(2)解当q1时，snna1，故sn是等差数列；当q1时，sn不是等差数列，否则2s2s1s3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列sn是等差数列；当q1时，数列sn不是等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)11设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()a都大于2 b都小于2c至少有一个不大于2 d至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案d12已知函数f(x)，a，b是正实数，af，bf()，cf，则a，b，c的大小关系为()aabc bacbcbca dcba解析，又f(x)在r上是减函数，ff()f.答案a13已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216(当且仅当a4，b12时等号成立)，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，00，且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)证明：对任意的nn*，不等式成立(1)解由题意，snbnr，当n2时，sn1bn1r，所以ansnsn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明由(1)知an2n1，因此bn2n(nn*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由均值不等式可得成立，故成立，所以，当nk1时，结论成立由可知，nn*时，不等式成立规律方法用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【训练2】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式均成立证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立(2)假设nk(k2，且kn*)时不等式成立，即.则当nk1时，1.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立考点三归纳猜想证明【例3】 已知数列an的前n项和sn满足：sn1，且an0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nn*)(2)证明由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立假设当nk(k3，kn*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1sk1sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由可知对所有nn*，an都成立规律方法“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性【