2014-2015学年安徽省芜湖市高二(上)期末数学试卷(a卷).doc

期末数学试卷一、选择题 1（3分）（2014秋芜湖期末）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A一个圆台、两个圆锥B两个圆台、一个圆锥C一个圆柱、两个圆锥D两个圆台、一个圆柱 2（3分）（2015梅州三模）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn 3（3分）（2014秋芜湖期末）过点A（4，y），B（2，3）的直线的倾斜角为135，则y等于（）A1B1C5D5 4（3分）（2014郴州三模）用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（）ABCD 5（3分）（2014秋芜湖期末）直线xy+m=0与圆x2+y22y2=0相切，则实数m=（）A或B或3C3或D3或3 6（3分）（2014秋芜湖期末）在ABC中，BAC=90，PA平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A5B8C10D6 7（3分）（2009上海）点P（4，2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）2=1B（x2）2+（y+1）2=4C（x+4）2+（y2）2=1D（x+2）2+（y1）2=1 8（3分）（2014秋芜湖期末）正三棱柱有一个半径为cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A9cm3B54cm3C27cm3D18cm3 9（3分）（2014秋芜湖期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在斜率为k的直线上，若|AB|=a，则|y2y1|等于（）A|ak|BaCD 10（3分）（2014秋芜湖期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若CMN=90，则异面直线AD1与DM所成的角为（）A30B45C60D90 11（3分）（2013重庆）已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A54B1C62D 12（3分）（2014江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y4=0相切，则圆C面积的最小值为（）ABC（62）D二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 13（4分）（2014秋芜湖期末）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是 14（4分）（2014秋芜湖期末）如图，梯形A1B1C1D1，是一平面图形ABCD的直观图（斜二侧），若A1D1O1y1，A1B1C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是 15（4分）（2014秋芜湖期末）已知5x+12y=60，则的最小值为 16（4分）（2014秋芜湖期末）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 17（4分）（2005安徽）在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则：四边形BFDE一定是平行四边形；四边形BFDE有可能是正方形；四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形；平面BFDE有可能垂直于平面BBD以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤） 18（7分）（2014秋芜湖期末）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，5）到它的距离相等的直线方程 19（8分）（2014秋芜湖期末）如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点证明：FE、HG、DC三线共点 20（9分）（2013越秀区校级模拟）已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：x2y=0的距离为求该圆的方程 21（10分）（2014梅州二模）已知四棱锥PABCD（图1）的三视图如图2所示，PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）求证：AC平面PAB2014-2015学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）1（3分）（2014秋芜湖期末）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A一个圆台、两个圆锥B两个圆台、一个圆锥C一个圆柱、两个圆锥D两个圆台、一个圆柱【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】操作型；空间位置关系与距离【分析】由等腰梯形的结构特点，我们可得等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰，分类讨论后，根据旋转体的定义，我们可以得到两种情况下旋转后得到结合体的组成，分析四个答案，易得到结论【解答】解：等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰当较长的边是下底时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆柱、两个圆锥当较长的边是腰时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆锥，一个圆台再挖掉一个圆锥故选：C【点评】本题考查的知识点是旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的定义，熟练掌握旋转体的结构特征是解答本题的关键2（3分）（2015梅州三模）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn【考点】平面与平面平行的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、， 垂直于同一个平面，故， 可能相交，可能平行，故B错误；C、，平行与同一条直线m，故， 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确故选 D【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题3（3分）（2014秋芜湖期末）过点A（4，y），B（2，3）的直线的倾斜角为135，则y等于（）A1B1C5D5【考点】直线的倾斜角菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】利用斜率计算公式即可得出【解答】解：过点A（4，y），B（2，3）的直线的倾斜角为135，tan135=1，解得y=5故选：D【点评】本题考查了倾斜角与斜率的关系、斜率计算公式，属于基础题4（3分）（2014郴州三模）用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】规律型；空间位置关系与距离【分析】根据题意几何体是球缺，利用球的视图是圆，看不到的线要画虚线，可得答案【解答】解：用一个平行于水平面的平面去截球，截得的几何体是球缺，根据俯视图的定义，几何体的俯视图是两个同心圆，且内圆是截面的射影，内圆应是虚线，故选：B【点评】本题考查了几何体的三视图，要注意，看不到的线要画虚线5（3分）（2014秋芜湖期末）直线xy+m=0与圆x2+y22y2=0相切，则实数m=（）A或B或3C3或D3或3【考点】圆的切线方程菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论【解答】解：圆的标准方程为x2+（y1）2=3，圆心坐标为（0，1），半径为，若直线和圆相切，则圆心到直线的距离d=，即|m|=2，解得m=或3，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键6（3分）（2014秋芜湖期末）在ABC中，BAC=90，PA平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A5B8C10D6【考点】直线与平面垂直的性质；相似三角形的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】利用线面垂直的性质定理和等腰三角形的性质即可判断出【解答】解：PA平面ABC，PAAB，PAAD，PAAC，PAB，PAD，PAC都是直角三角形；BAC=90，ABC是直角三角形；AB=AC，D是BC的中点，ADBCABD，ACD是直角三角形由三垂线定理可知：BCPD，PBD，PCD也是直角三角形综上可知：直角三角形的个数是8个故选：B【点评】本题考查了线面垂直的性质定理和等腰三角形的性质，属于基础题7（3分）（2009上海）点P（4，2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）2=1B（x2）2+（y+1）2=4C（x+4）2+（y2）2=1D（x+2）2+（y1）2=1【考点】轨迹方程菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x4）2+（2y+2）2=4，化简得（x2）2+（y+1）2=1故选A【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用8（3分）（2014秋芜湖期末）正三棱柱有一个半径为cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A9cm3B54cm3C27cm3D18cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】由题意知正三棱柱的高为2cm，底面正三角形的内切圆的半径为cm，底面正三角形的边长为6cm，由此能求出此正三棱柱的体积【解答】解：正三棱柱有一个半径为cm的内切球，由题意知正三棱柱的高为2cm，底面正三角形的内切圆的半径为cm，底面正三角形的边长为6cm，正三棱柱的底面面积为9cm2，故此正三棱柱的体积V=9=54（cm3）故选：B【点评】本题考查棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9（3分）（2014秋芜湖期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在斜率为k的直线上，若|AB|=a，则|y2y1|等于（）A|ak|BaCD【考点】直线的斜率菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】k0时，由弦长公式可得：|AB|=|y2y1|，即可得出【解答】解：k0时，由弦长公式可得：|AB|=|y2y1|，|y2y1|=当k=0时，上式也成立|y2y1|=故选：D【点评】本题考查了弦长公式，考查了计算能力，属于基础题10（3分）（2014秋芜湖期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若CMN=90，则异面直线AD1与DM所成的角为（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由已知中长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若CMN=90，我们易证得CMAD1，CDAD1，由线面垂直的判定定理可得：AD1平面CDM，进而由线面垂直的性质得得AD1DM，即可得到异面直线AD1与DM所成的角【解答】解：如下图所示：M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，MNAD1，CMN=90，CMMN，CMAD1，由长方体的几何特征，我们可得CDAD1，AD1平面CDM故AD1DM即异面直线AD1与DM所成的角为90故选D【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据线面垂直的判定定理及性质定理，将问题转化为线线垂直的判定是解答本题的关键11（3分）（2013重庆）已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A54B1C62D【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=54故选A【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力12（3分）（2014江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y4=0相切，则圆C面积的最小值为（）ABC（62）D【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y4=0的距离为：d=，此时r=圆C的面积的最小值为：Smin=（）2=故选：A【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）13（4分）（2014秋芜湖期末）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是6或2【考点】空间两点间的距离公式菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可【解答】解：因为点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，所以|AB|=2，解得x=6或x=2，则实数x的值是6或2故答案为：6或2【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力14（4分）（2014秋芜湖期末）如图，梯形A1B1C1D1，是一平面图形ABCD的直观图（斜二侧），若A1D1O1y1，A1B1C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是5【考点】平面图形的直观图菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1Oy，A1D1=1，原图中ADOy，从而得出ADDC，且AD=2A1D1=2，直观图中A1B1C1D1，A1B1=C1D1=2，原图中ABCD，AB=CD=2，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图故其面积S=（2+3）2=5故答案为：5【点评】本题考查平面图形的直观图，考查计算能力，作图能力，是基础题15（4分）（2014秋芜湖期末）已知5x+12y=60，则的最小值为【考点】点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】表示直线l：5x+12y=60的点Q与点P（4，0）的距离，因此当且仅当PQl时取得最小值【解答】解：表示直线l：5x+12y=60的点Q与点P（4，0）的距离，因此当且仅当PQl时取得最小值d=故答案为：【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16（4分）（2014秋芜湖期末）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于【考点】直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】计算题；空间角【分析】设AB=1，则AA1=2，建立空间直角坐标系，设平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为，则sin=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设AB=1，则AA1=2，建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，2），C1（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），=（1，1，0），=（0，1，2），=（0，1，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，取=（2，2，1），设CD与平面BDC1所成角为，则sin=|=，故答案为：【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键17（4分）（2005安徽）在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则：四边形BFDE一定是平行四边形；四边形BFDE有可能是正方形；四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形；平面BFDE有可能垂直于平面BBD以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由平行平面的性质可得是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故正确，错误【解答】解：平面AB平面DC，平面BFDE平面AB=EB，平面BFDE平面DC=DF，EBDF，同理可证：DEFB，故四边形BFDE一定是平行四边形，即正确；：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故错误；：四边形BFDE在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即正确；：当E、F为棱中点时，EF平面BBD，又EF平面BFDE，此时：平面BFDE平面BBD，即正确故答案为：【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力三、解答题（本大题5个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）18（7分）（2014秋芜湖期末）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，5）到它的距离相等的直线方程【考点】点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论【分析】当A与B在所求的直线两侧时，显然所求直线为x=1；当A与B在直线同侧时，根据两点到所求直线的距离相等得到直线AB与所求的直线平行即斜率相等，利用A和B的坐标求出直线AB的斜率即为所求直线的斜率，写出所求直线方程即可【解答】解：（1）x=1显然符合条件；（2）当A（2，3），B（0，5）在所求直线同侧时，得到直线AB与所求的直线平行，kAB=4，所以所求的直线斜率为4，y2=4（x1），化简得：4xy2=0，所以满足条件的直线为4xy2=0，或x=1【点评】考查学生掌握两条直线平行时斜率的关系，会分情况讨论分别得到满足条件的直线，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程19（8分）（2014秋芜湖期末）如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点证明：FE、HG、DC三线共点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】首先，设EF与DC共点于S，DC与HG共点于S，然后，通过证明三角形全等的方法证明S与S是同一个点，即可说明线共点【解答】解：如图所示，设EF与DC共点于S，DC与HG共点于S，RTCFSRTBFE，得到CS=BE=AB，RTCGSRTC1GH，得到CS=C1H=C1D1，则，CS=CS（即S与S是同一个点），EF、GH、DC三线共点【点评】本题重点考查了空间中点线面的位置关系等知识，属于中档题，理解线共点问题的处理思路和方法是解题关键20（9分）（2013越秀区校级模拟）已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：x2y=0的距离为求该圆的方程【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x2y=0的距离，让其等于，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可【解答】解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴所得的弦长为故r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2a2=1；又因为P（a，b）到直线x2y=0的距离为，所以=，即有a2b=1，由此有或解方程组得或，于是r2=2b2=2，所求圆的方程是：（x+1）2+（y+1）2=2，或（x1）2+（y1）2=2【点评】本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题21（10分）（2014梅州二模）已知四棱锥PABCD（图1）的三视图如图2所示，PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）求证：AC平面PAB【考点】直线与平面垂直的判定；由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离【分析】（1）过A作AECD，可得E是BC的中点，且BE=CE=AE=CD=1正三角形PBC中，算出中线PE=，由PA平面ABCD，在RtPAE中，算出PA=即为正视图三角形的高长，由此结合BC=2即可求出正视图的面积；（2）由（1）的证明，结合题意可得四棱锥PABCD是以PA为高、底面ABCD是直角梯形的四棱锥，结合题中的数