高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 40 等比数列课件 文.ppt

第七章数列 推理与证明 第40课等比数列 课前热身 1 必修5p49习题1改编 已知数列 an 为正项等比数列 a2 9 a4 4 那么数列 an 的通项公式an 激活思维 2 必修5p49习题1改编 如果 1 a b c 9成等比数列 那么b a c 解析 由等比数列的性质可得ac 1 9 9 b b 9 且b与奇数项的符号相同 故b 3 3 9 3 必修5p58练习6改编 若对于实数x 有an xn 则数列 an 的前n项和sn 4 必修5p61习题3改编 若等比数列的通项公式为an 4 31 n 则数列 an 是 数列 填 递增 或 递减 递减 1 等比数列的定义及通项如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的 都等于 那么这个数列就叫作等比数列 这个常数叫作等比数列的 推广 an amqn m 知识梳理 比 同一个常数 公比 3 等比数列的性质设数列 an 是等比数列 公比为q 1 若m n p q m n p q n 则 aman apaq 课堂导学 等比数列的基本量运算 例1 精要点评 此题主要考查等比数列的通项公式 求等比数列的通项就是要求基本量a1和q 要注意q 1的情况 1 2 2016 苏州期中 已知等比数列 an 的公比大于1 若a5 a1 15 a4 a2 6 则a3 4 3 2016 苏北四市摸底 在等比数列 an 中 若a1 1 a3a5 4 a4 1 则a7 解析 方法一 设等比数列 an 的公比为q 因为a1 1 a3a5 4 a4 1 所以q2 q4 4 q3 1 即q6 4q3 4 0 q3 2 所以a7 q6 4 4 4 2015 全国卷 在数列 an 中 已知a1 2 an 1 2an sn为 an 的前n项和 若sn 126 则n 6 1 2016 广州期末 在正项等比数列 an 中 若a1和a19为方程x2 10 x 16 0的两根 则a8a10a12 等比数列的性质及应用 例2 64 2 2016 南通一调 已知等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3 s4 15 则s6的值为 63 方法三 由s2 s4 s2 s6 s4成等比数列可得 s4 s2 2 s2 s6 s4 所以s6 63 思维引导 1 考虑一元二次方程根与系数的关系 2 根据性质s2 s4 s2 s6 s4成等比数列列式计算s6 1 2016 梁丰中学 已知等比数列 an 的前n项和为sn 若a2a8 2a3a6 s5 62 则a1 解析 设等比数列 an 的公比为q 由a2a8 2a3a6 得a 2a5a4 因为a5 0 所以a5 2a4 所以q 2 又因为s5 62 所以a1 1 2 4 8 16 62 即31a1 62 解得a1 2 变式 2 已知数列 an 的前n项和sn满足sn 2an 1 n 1 求数列 an 的前3项a1 a2 a3的值 等比数列的判定和证明 例3 思维引导 第 1 小问中只需要分别令n 1 2 3解方程即可 第 2 小问先根据sn 2an 1 n得到an与an 1的关系 再根据定义得出结论 最后写出通项公式 变式 等比数列的判定和证明 例4 解答 1 设等比数列 an 的公比为q 因为a4 s4 a5 s5 a6 s6成等差数列 所以a5 s5 a4 s4 a6 s6 a5 s5 即2a6 3a5 a4 0 所以2q2 3q 1 0 2 对n n 在an与an 1之间插入3n个数 使这3n 2个数成等差数列 记插入的这3n个数的和为bn 求数列 bn 的前n项和tn 精要点评 本题主要考查等比数列前n项和公式的运用 同时考查构造新数列求通项 求和的方法 2015 四川卷 设数列 an 的前n项和sn满足sn 2an a3 且a1 a2 1 a3成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 因为sn 2an a3 所以an sn sn 1 2an 2an 1 n 2 n n 即an 2an 1 n 2 n n 从而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因为a1 a2 1 a3成等差数列 即a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以数列 an 是首项为2 公比为2的等比数列 所以an 2n 变式 2015 南通二调 设 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q q 1 的等比数列 记cn an bn 1 求证 数列 cn 1 cn d 为等比数列 解答 1 由题意得cn 1 cn d an 1 bn 1 an bn d an 1 an d bn 1 bn bn q 1 0 又因为c2 c1 d b1 q 1 0 所以 cn 1 cn d 是首项为b1 q 1 公比为q的等比数列 备用例题 2 已知数列 cn 的前4项分别为4 10 19 34 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 方法一 cn 1 cn d 的前3项为6 d 9 d 15 d 则 9 d 2 6 d 15 d 解得d 3 从而q 2 解得a1 1 b1 3 所以an 3n 2 bn 3 2n 1 消去b1 得q 2 从而解得a1 1 b1 3 d 3 所以an 3n 2 bn 3 2n 1 精要点评 等差数列与等比数列的综合运用主要还是考查基本量的运算 同时考查学生综合分析问题的能力 课堂评价 1 2015 泰州二模 在等比数列 an 中 已知a3 4 a7 2a5 32 0 那么a7 解析 设公比为q 则有a3q4 2a3q2 32 0 即q4 2q2 8 0 解得q2 4 负值舍去 所以a7 a3q4 64 2 在正项等比数列 an 中 若a3a11 16 则log2a2 log2a12 解析 因为等比数列 an 中 a3a11 16 所以a2a12 a3a11 16 所以log2a2 log2a12 log2 a2a12 log216 4 64 4 3 在等比数列 an 中 若s5 4 s10 12 则s15 解析 由等比数列的性质知s5 s10 s5 s15 s10成等比数列 s5 4 s10 s5 8 所以s15 s10 16 则s15 28 4 2016 浙江卷 已知数列 an 的前n项和为sn 若s2 4 an 1 2sn