（应用数学专业论文）banach格上的广义正则算子.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 b a n a c h 格及其上的算子理论中 正则算子是一类非常有趣的算子 它扮演着重要 的角色 目前有很多关于算子的正则性的研究成果 但是没有准确的方法来说明连续 线性算子的正则性 很自然地会考虑条件比它要弱的算子 这就是b a n a c h 格上的广义 正则算子 在这里我们将要研究算子的广义正则性及其相关性质 本论文主要分为以 下三个部分 在第一部分中 首先 我们将要建立算子广义正则性的刻画 然后得出广义正则 算子是正则算子 序有界算子的充要条件 最后建立正则算子 序有界算子以及广义 正则算子的关系 在第二部分中 我们主要考虑广义正则算子空间的拓扑性质和序结构 其中有一 个重要的结论是 在赋予广义正则范数下 广义正则算子空间是一个b a n a c h 空间 当 然 我们也得到了算子范数 正则范数以及广义正则范数之间的等价关系 许多结果 包括广义正则算子的r i e s z 分解性质也得以体现 在第三部分中 我们主要指出紧算子不都是广义正则的 这里包括紧算子是广义 正则算子的这一正面结果 当然 我们也举出特别的两个反例来说明紧算子不是广义 正则的 这两个反例同时也说明了m 一和 一弱紧算子不是广义正则的 关键词 r i e s z 空间 b a n a c h 格 正则算子 广义正则算子 序有界算子 连续线性算 子 西南交通大学硕士研究生学位论文第l i 页 a b s t r a c t t h er e g u l a ro p e r a t o r so nb a n a c hl a t t i c e sp l a yv e r yi m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gr o l ei nt h e l i t e r a t u r eo fb a n a c hl a t t i c ea n do p e r a t o rt h e o r y t h e r ea l en u m b e ro fr e s u l t sc o n c e r n i n gt h e r e g u l a r i t yo fo p e r a t o r s b u ti ti sk n o w n t h a tt h e r ei sn oe x a c tw a yi nt h el i t e r a t u r et oc o n c l u d e t h er e g u l a r i t yo fc o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o r s i ti sn a t u r a la n di n t e r e s t i n gt oc o n s i d e raw e a k e r p r o p e r t y s o c a l l e dp r e r e g u l a r i t yo fo p e r a t o r so nb a n a c hl a t t i c e s i nt h i st h e s i sw ed e v o t et o i n v e s t i g a t ep r e r e g u l a r i t yo fo p e r a t o r sa n ds o m er e l a t e dp r o p e r t i e s t h et h e s i sm a i n l yc o n s i s t s o ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r tw ew i l lf i r s tp r e s e n ts o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fp r e r e g u l a r i t yo fo p e r a t o r s t h e nw ew i l ld e d u c es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rp r e r e g u l a ro p e r a t o r sb e i n gr e g u l a ra n d o r d e rb o u n d e d a n df i n a l l yw et r yt oe s t a b l i s hs o m er e l a t i o n sa m o n gt h er e g u l a ro p e r a t o r s o r d e rb o u n d e do p e r a t o r sa n dp r e r e g u l a ro p e r a t o r s i nt h es e c o n dp a r tw ec o n s i d e rt h et o p o l o g i c a la n do r d e rp r o p e r t i e so fs p a c e so fp r e r e g u l a r o p e r a t o r s o n eo f m a i nr e s u l t si nt h i sp a r ti st h a tu n d e rt h es o c a l l e dp r e r e g u l a rn o r mt h e s p a c eo fp r e r e g u l a ro p e r a t o r si sa b a n a c hs p a c e a l s ow ew i l ld e d u c es o m ec o n d i t i o n sf o rt h e e q u i v a l e n to fo p e r a t o rn o r m r e g u l a rn o r ma n dp r e r e g u l a rn o r mr e s p e c t i v e l y s o m er e s u k s i n v o l v e dt h er i e s zd e c o m p o s i t i o np r o p e r t i e so fp r e r e g u l a ro p e r a t o rs p a c e sa l ea l s oi n c l u d e d i nt h et l l i r dp a r tw em a i n l yp o no u tt h a tc o m p a c to p e r a t o r sm a yn o tb ep r e r e g u l a r s o m e p o s i t i v er e s u l t sf o ra l lc o m p a c to p e r a t o r sb e i n gp r e r e g u l a ra r ei n c l u d e dh e r e e s p e c i a l l yw e c o n s t r u c tt w oc o n c r e t ec o u n t e r e x a m p l e so fc o m p a c to p e r a t o r sw h i c ha r en o tp r e r e g u l a r t h e s ee x a m p l e sa l s os h o wt h a tm a n dl w e a k l yc o m p a c tm a yn o tb ep r e r e g u l a r k e yw o r d s r i e s zs p a c e b a n a c hl a t t i c e r e g u l a ro p e r a t o r p r e r e g u l a ro p e r a t o r o r d e r b o u n d e do p e r a t o r c o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o r s 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用 影印 缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在年解密后适用本授权书 2 不保密邑使用本授权书 请在以上方框内打 学位论文作者签名 坼 指导老师签名 弋触7 日期 知7 d j 日期 加1 口 j7 丫 西南交通大学硕士学位论文主要工作 贡献 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下 1 探讨了广义正则算子是序有界 正则 算子的条件 较为全面地总结了正则算 子 序有界算子 广义正则算子以及连续线性算子的关系 2 探讨了广义正则算子空间的拓扑性质 得出广义正则算子空间在赋予广义正则 范数下形成b a n a c h 空间 给出了广义正则算子空间具有r i e s z 分解性质的条 件 以及讨论了广义正则范数与正则范数 算子范数的关系 3 给出紧算子 弱紧算子等特殊算子是广义正则算子的条件 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的研究成果 对本文的研究做出贡献的个人和集体 均已在文中作了明确的说明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 锄 嘭 日期 庐卯矿 f 垆 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1b a n a c h 格上正则算子理论的历史概述 在上个世纪二三十年代 e r i e s z 将格序结构引入到线形空间 并提出了向量格的 概念 后人以他的名字将其命为r i e s z 空间 在这以后 引起了众多数学家的广泛关 注 如l k a n t o r o v i t c h h f r e u d e n t h a l 等人 其后数十年r i e s z 空间的理论得到了迅速 发展 若将r i e s z 空间赋予某种范数 并满足相容性 便成为赋范r i e s z 空间 而完备 的赋范r i e s z 空间就成为b a n a c h 格 这样 经典赋范空间 b a n a c h 空间 中的众多结论 与r i e s z 空间本身所具有的性质相结合 得到了非常优美的结果 极大地丰富了r i e s z 空间理论 详见 1 7 8 2 3 3 5 正算子 以及作为正算子之差的正则算子 在b a n a c h 格上算子理论研究中扮演了 十分重要的角色 因此得到广泛关注并已有相当深刻的研究成果 在上个世纪六七十 年代 众多数学家将目光投向了算子正则性研究 关于它的研究成果也不断涌现 不 过 对正则算子形成系统理论应该是在二十世纪末 在这一时期 对正则算子的许多 结构性质已有相当深入的研究 形成了很成熟的系统理论 有关正则算子的研究成果 能有这么大的吸引力 是因为它所具有优美性质带来的魅力 主要集中体现在以下几 个方面 1 算子正则性的刻画 目前主要建立了一些很好的充分条件 2 3 6 8 1 2 算子在正则的前提下 进一步研究其格性质 2 9 3 4 1 如其模的存在性掣删 3 正则算子空间的格序结构性质研究 比如在什么条件下正则算子空间成为 r i e s z 空间等 详见 6 8 1 5 3 4 所有这些均是b a n a c h 格上算子理论研究的热点问题 在各个方面均有相当丰硕的 成果 虽然关于正则算子的研究已很深入和广泛 仍有许多问题值得去深入思考 因此 迄今有很多人从事这方面的讨论和研究 到目前为止 仍未有确定的准则可以判断算子是否正则 并有相当多的算子 如 紧算子 不是正则的 3 9 4 4 4 5 4 7 因此 研究比正则性稍弱的性质就变得自然和必要 于是b e m b u m 在1 9 7 4 年首次提出了广义正则算子 6 的概念 并对广义正则算子进行了 一定的研究在研究算子的广义正则性和广义正则算子时 有下列有趣而又重要的问题 1 正则算子 序有界算子 广义正则算子以及有连续线性算子之间的关系 如 什么时候广义正则算子算子是正则的 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 什么时候连续线性算子是广义正则 或正则 的 以及序有界算子与广义正则算 子的关系又如何 等等 2 广义正则算子空间的空间结构性质 拓扑与格序性质 如 在一般情况下是 否成为r i e s z 空间 如果不能 那它是否具有r i e s z 分解性质 在赋予广义正则范数下 广义正则算子空间的完备性以及几种算子范数的关系等等 3 特殊算子的广义正则性 如紧算子 弱紧算子 d 尸算子 m 一弱紧算子以及 三一弱紧算子的广义正则性问题 本文就是从这些问题出发对广义正则算子进行探讨 得到了一些新颖的结论 1 2 正则算子及其空间的研究现状 关于正则算子和正则算子空间序结构性方面已有非常深入的研究 并有相当深刻 的结论 其中最具代表性的有 1 正则算子在什么条件下模存在 进而正则算子空间何时成其为r i e s z 空间 对 于这值域空间是d e d e k i n d 完备的情形有著名k a n t o m o v i c h 定理 定理1 2 1 1 7 8 3 5 e f 是鼬e s z 空间 且f d e d e k i n d 完备的 则厶 e f l r e f 是d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间 对于值域空间不完备的情形 a b r a m o v i c h w i c k s t e a d 等亦作了比较深入的研究 得到了许多深刻的结果 2 连续算子正则性研究 在r i e s z 空间 b a n a c h 格及其上算子理论研究方面 y a a b r a m o v i c h a w w i c k s t e a d b d e p a g t e r 等人在上个世纪9 0 年代作出了杰出的贡献 得到了关于算 子的一系列研究成果 2 一 4 1 5 4 0 4 4 1 尤其是连续算子正则性方面 a w w i c k s t e a d 在文献 2 中对b a n a c h 格上的连续算子正则性作了深入细致的讨论 在正则算子 序有界算子与 连续线性算子间建立了一些关系 进而在空间格序性质得到了一些重要结果 首先 什么情况下连续线性算子是正则的 在 2 中a w w i c k s t e a d 对这一问题作 了详细的回答 得出了如下结论 定理1 2 2 1 2 j 若f 是d e d e k i n d 完备的b a n a c h 格 则下面结论等价 1 f 具有强序单位 2 对任意的b a n a c h 格e 有三 e f r r e f 定理1 2 3 1 2 1 若f 是b a n a c h 格 则下面结论等价 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 f 是d e d e k i n d 完备的且具有强序单位 2 对任意的b a n a c h 格五 有丘 e f 是一个r i e s z 空间 上述结论是基于值域空间 对偶的对于定义域空间有 定理1 2 4 1 2 1 若e 是b a n a c h 格 则下面结论等价 1 e 与一个离散的4 一空间格同构 2 对任意的b a n a c h 格f 有l e f e 3 对任意的b a n a c h 格 有 e f 是一个r i e s z 空间 定理1 2 5 1 2 若f 是b a n a c h 格 则下面结论等价 1 f 具有l e v i 范数 2 对任意彳三一空间e 有l e f e 3 对任意彳三一空间e 有厶 e 是一个r i e s z 空间 定理1 2 6 2 e 是b a n a c h 格 则下面结论等价 1 e 是离散的且具有序连续 2 对任意彳m 一空间f 则 e 厶 e f 3 对任意a m 一空间f 则t e f 是一个r i e s z 空间 3 特殊算子的正则性方面的研究结果 k r e n g l s 在1 9 6 2 年给出例子 显示紧算子 可以不正则 a b r o m o v i c h 和w i c k s t e a d 给出反例n 7 洲1 说明了正则的紧算子的模可以不存 在 定理1 2 7 3 f 是r i e s z 空间 若存在算子r 户专f 满足 对v x 定有麟 圣 则对任意的r i e s z 空间e 有 e f 厶 e 最后是关于正则算子空间三 e f 的序结构方面的研究 已经有相当多的结果 其 代表性结果如下 定理1 2 8 1 1 2 6 b a n a c h 格f 是d e d e k i n d 完备的充分必要条件是对任意的b a n a c h 格e 上 e 是一个r i e s z 空间 定理1 2 9 2 j b a n a c h 格e 是具有序连续范数的原子的充分必要条件是对任意的 b a n a c h 格f 三 e f 是一个r i e s z 空间 定理1 2 1 0 2 若e 和 是b a n a c h 格 且e 可分 则l a e f 是一个r i e s z 空间的 充分必要条件是要么e 是具有序连续范数的原子 要么f 是d e d e k i n d 盯一完备的 定理1 2 1 1 1 4 1 e f 是b a n a c h 格使得e 可分 f 具有c o n t o r 性质 则正则算子空 间t e f 具有r i e s z 分解性质 而a w w i c k s t e a d 对上述结论做了进一步的研究 得到了以下更强的结论 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 定理1 2 1 2 1 2 1 b a n a c h 格f 上的下列情况等价 1 f 具有c o n t o r 性质 2 对任意可分的b a n a c h 格e t e 具有r i e s z 分解性质 3 三 c f 具有r i e s z 分解性质 定理1 2 1 3 2 若e f 均为非零的b a n a e h 格 则厶 e f 在正则范数下是彳三一空 间的充分必要条件是e 是a m 一空间且 是彳 一空间 定义1 2 1 4 1 6 1 e f 是b a n a c h 格 丁是e 到 的一个线性算子 若t e 专f 是 正则的 则称t e 专f 是广义正则算子 e 到f 的广义正则算子全体记为工 e f 定理1 2 1 5 6 e f 是b a n a c h 格 若e 是彳 一空间或f 是a m 一空间 则 l e f 三 e f 定理1 2 1 6 1 6 1 e f 是b a n a c h 格 若t l e 满足l e f l p r e f 和 r 旧l 丁i n p 则要么e 与一个a l 空间序同构 要么f 与一个彳m 一空间序同构 关于算子的广义正则性 除了 6 在研究紧算子广义正则的一些应用 作为刻画 b a n a c h 格性质的一方面 迄今仍未见很多深刻的结论 诸如 广义正则性的刻画 广 义正则与正则的关系以及各类算子的广义正则性研究 还有很多这方面的问题需要讨 论 这就是本论文的目的所在 1 3 本文的写作背景及主要结果 本文主要内容如下 第二章 介绍r i e s z 空间及其空间上线形算子方面的准备知识 并较为深入地总结 了与算子广义正则性的相关性质 第三章 首先给出广义正则算子的等价刻画 然后深入讨论正则算子 序有界算 子 广义正则算子以及有界线性算子间的关系 第四章 在广义正则算子空间的拓扑性质方面 先在空间中引入了广义正则算子 范数 并对完备性进行了讨论 然后分析几种算子范数的关系 第五章 讨论特殊算子的广义正则性问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章预备知识 本章主要介绍r i e s z 空间和b a n a c h 格上的相关概念及性质 主要说明b a n a c h 格上 正则算子的性质 对于其它未解释术语或符号请参阅文献 2 1 2 6 1 文中的 算子 如 未特别说明均指连续线性算子 2 1r i e s z 空间的基本介绍 首先给出r i e s z 空间的定义以及其上的一些性质 定义2 1 1 7 4 设e 为一个实向量空间 并在e 上定义一个偏序关系 满足自反 性 传递性 反对称性 如果下列两个条件同时成立 1 对于任意的厂 g h e 如果 g 那么厂 h g h 2 对于任意的厂 e t 2 r 如果0 f 0 一 口 那么0 ga f 那么称e 是偏序向量空间 如果此时e 关于偏序 g 即任意两个元素都有上下确界 那么称e 是向量格或r i e s z 空间 这里的上下确界分别表示为 x v y s u p x y x y i n f x j 若x y erx y 则称集合 z x z y 为e 的序区间 记为 x y 若e 中的集合 a 包含在一个序区间内 则称a 是序有界集 例如行维欧氏空间r 1 8 1 9 按一般定义的加法和数乘运算 是一个实向量空间 定 义逐点偏序关系 即 对于x 墨 和y 乃9o 9 儿 若矗 y k k 1 聆 则称 x 4y 此时尺 关于一 是一个r i e s z 空间 更多的例子 如序列空间 函数空间 可积 函数空间等参看文献 1 7 8 2 3 3 5 现设e 是r i e s z 空间 集合e f 0 厂 e 称为e 的正锥 e 中的元素称为e 的正元 占中元素的正部 负部以及模分别表示如下 f f v 0 f 一 厂 0 i f i f v 一门 结合正 负部及模的概念 r i e s z 空间满足如下一些运算性质 性质2 1 2 1 1 7 8 2 3 3 5 1 设e 是r i e s z 空间 对于任意的厂 g 办 e 下面结论成立 1 厂 f 一 e 厂 厂一 一厂 一 f i fi 刊f i 2 f f 一厂一 f 人厂一 o i 厂i f f 一 3 o i 厂l o 厂一 l 厂i 一厂一 厂 f 4 厂 4 9 当且仅兰扩 g g 一 f 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 5 f v g f a g f g f v g f g 爿f g j 6 i l v i g i l i g l i f g i 7 厂 g f g g 一 4f 一 g 一 8 i i 厂i igi i i 厂 gi i i 厂l igi 9 甜 v w e v a w 4 甜 w v a 厂 g v w 4 f v w g vw 其次 给出r i e s z 空间中常涉及的的几个概念及其相应的一些性质 定义2 1 3 7 2 4 e 是r i e s z 空间 假定e 中的任意自集继承了e 的序关系 1 y 为e 的线形子空间 如果对于y 中的任意两个元素厂 g 满足 f vg f ag v 则称矿为e 的r i e s z 子空间 2 彳为e 的线形子空间 如果对于任意的厂 彳 满足h i 州能推出g a 则称彳 为e 的 序 理想 3 b 为e 的理想 对于任意的集合d b 如果f s u p d 能推出厂 b 则称b 为e 的带 由上述定义可知 每个带是理想 每个理想是r i e s z 子空间 任意多个带 理想 r i e s z 子空间 的交仍是一个带 理想 r i e s z 子空间 而且两个理想之和任是理想 但 是两个带 r i e s z 子空间 之和不一定是带 r i e s z 子空间 对于r i e s z 空间e 的某个非空子集d 称所有包含d 的r i e s z 予空间的交为由d 生 成的r i e s z 子空间 记为尺 d 类似地可以定义由d 生成的理想 d 并且可以知道 厶 g i ig 卜l 石i 1 zl j 彳 以 d r 刀 n 若是由单个元素 生成的理想 称为主理想 记为 表达式是 g i i g i 4 i a f i 了口 r 由d 生成的带记为 当d 只有一个元素厂时 由厂生成的带称为主带 当4 是 理想时 由么生成的带可记为f 彳 表示为 a f i l f i s u p u u a 0 4 u 4 i f i 而且由d 生成的带 与由d 生成的理想生成的带相同 即 厶 设厂 g 为r i e s z 空间的e 中的两个元素 如果lf lag 0 则称 厂与g 是不交的 d i s j o i n t 记 上g 对于集合d e 与d 中所有不交的元素的全体称为d 的不 交补 即 d 4 f ei 厂上g vg d 此时d d 为e 中的带 d d 的不交补d 谢称为二次不交补 生成的理想 生成的带及不交补具有如下一些基本性质 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 性质2 1 4 7 2 4 设e 是r i e s z 空间 f g e d 口 d 2 为e 的非空子集 4 4 为e 的理想 那么如下结论成立 mi f g l f 八i g l f g lf g i f l g l 口n 魄 i 嘎 i 噬 2 n 4 r 4 4 4 叫4 4 3 n 4 耐 厂 4 耐 q u 皿 d d r 硝 4 d d 易 d b o d 在r i e s z 空间中还常涉及序收敛的概念 设 屹 为e 中的网 如果在e 中存在网h 1 以山0 使得对于每一个口满足 i 吒 xi g 以 则称 屹 序收敛于x 记屹寸x o 最后给出几类常见且重要的r i e s z 空间的定义及其一些性质 定义2 1 5 1 7 捌 设e 是r i e s z 空间 1 若对每一个甜 e 满足 i n f n 1 甜 挖 1 2 0 则称e 是a r c h i m e d e a nr i e s z 空 间 而且e 是a r c h i m e d e a n 的当且仅当对于e 的每一个带曰满足b b 尉 2 若对e 中的每一个有上界的非空子集d 都有上确界 则称e 是d e d e k i n d 完备空 间 此时对于e 中的每一个带口 满足b b d e 称之为投影性质 也就是说每个带 都是投影带 那么此时任意两个带的和认为带 3 若对e 中的每一个有上界的非空可数子集d 都有上确界 则称e 是d e d e k i n d o r 一完备空间 此时对于e 中的每一个主带x 甜 满足x d i x 甜 e 称之为主投影性质 4 若在e 上赋予一个范数 l 使得对任意的厂 g e 当i f i i g i 能推出 i i f l 9 0 则称e 为赋范r i e s z 空间 此时的范数称为r i e s z 范数 且对于任意的 e 有i if l l l l if l l i 若在此范数下e 是完备的 则称e 为b a n a c h 格 如果对于e 中的每一 个网 满足o 屹个xj i 0 个忙i i 则称这个范数为f a t o u 范数 如果存在常数 m 1 使得0 g 吒个xj i x i i m s u pi lki l 则称这个范数为弱f a t o u 范数 根据定义及相应的一些性质可以知道d e d e k i n d 完备空间 d e d e k i n d o 一完备空间 赋范r i e s z 空间都是a r c h i m e d e a n 的 在a r c h i m e d e a nr i e s z 空间e 中 由e 中的非空 子集d 生成的带为d 甜 2 2r i e s z 空间与b a n a c h 格上算子及算子空间的基本性质 首先给出r i e s z 空间上一些算子的概念及基本性质 定义2 2 1 8 l 设e f 为r i e s z 空间 t e f 是线性算子 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 1 如果对所有的0 x e 有0 t x 那么称r 为正算子 从e 到f 上的所有线 性算子的全体记为 e f 在三 e f 上定义偏序s t 当且仅当r s 为正算子 则 l e f 成为偏序向量空间 如果rv 一t 存在 则称r 的模l 丁i 存在 并定义 tl t v 一丁 2 如果丁把e 中所有的序有界集4 映成f 中的序有界集 则称丁为序有界算子 所有序有界算子全体记为g e f 3 如果丁能写成两个正算子之差 则称丁为正则算子 所有正则算子的全体记为 三 e f 容易验证 正算子是正则算子 正则算子是序有界算子 但是序有界算子不一定 为正则算子 而且并非每一个正则算子都有模口 但当f 为d e d e k i n d 完备空间时 每 个序有界算子的模存在 且厶 e f 也是d e d e k i n d 完备空间 此时序有界算子是正则 算子 厶 e f e f l e f 其次 介绍两种常见的算子的范数的概念及相应的一些性质 定义2 2 2 8 l 设e f 为赋范r i e s z 空间 t e 专f 为线性算子 其算子范数定义 为 i i 丁i l s u pi i 豫i i s u p i lt xi i 1 ix i 0 lyi 彳ixl y 4 下是一个彳m 一空间 它的闭单位球是序区间 一i x i l x i 西南交通大学硕士研究生学位论文第10 页 第3 章广义正则算子 本章我们首先基于正则算子绝对值 模 存在的k a n t o r i v i c h 定理 给出一些算子 广义正则的刻画 其次是讨论广义正则算子的正则性问题 一般情况下 对任意的 b a n a c h 格e f 有 e f cl p r e cl e f 因此讨论其反包含关系成立的条件是 十分重要 对此我们得到了一些充分条件 最后涉及一些广义正则算子空间的格序性 质 本章如无特殊说明 均假定e f 为b a n a c h 格 3 1 广义正则箅子的等价刻画 本节主要进行两个算子广义正则的刻画 其一是关于经典的k a n t o m o v i c h 定理 其二是关于算子的共轭性 我们再次回忆一下广义正则算子的定义 定义3 1 1 6 e f 是b a n a c h 格 r 是e 到f 的一个线性算子 若t e 专f 是正 则的 则称t e 专f 是广义正则算子 e 到f 的广义正则算子全体记为三 e f 注意b a n a c h 格e 的二次共轭 是d e d e k i n d 完备的 那么用类似于著名的 k a n t o r o v i c h 定理的方法可以得到如下结果 定理3 1 2 若e 和f 是b a n a c h 格 t e f 是有界线性算子 则丁是广义正则 的当且仅当对任意的x t lt x k o 薯 x n e n 在f 是序有界的 下列结论显示了广义正则算子其共轭的某些特征 定理3 1 3 设e f 是b a n a c h 格 t e 寸f 是有界线性算子 若r 是广义正则的 则t f 专e 是正则的且是序连续算子 证明 若t e 寸f 是广义正则算子 首先证明t f 7 专e 是正则的 令0 厂 f 考虑集合 d 珊 z o z 则d 在 中是向上的 事实上 令f 19 9 z c 和蜀 岛 只 满足 彳 g j 厂 则存在泛函 c 1 f 刀 l 聊 j f 使得 z 1 j g j 1 j 坍 显然 有 另一方面 厂 f t lj l l 硝i l r i i r 7 l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 同理 i 丁童卢 e 旷 h oi 从而 d 在f 中是向上的 令x e 因为t e 专f 是正则的 所以存在算子0 s e 专f 满足i 丁ix s x 而 j 嘭 i 碟 川z x z x s x s x r 故存在h e 使得h s u pd 若0 g f 贝0 i r gj q7 g l l t f g 降h 即z 0 f l c 卜 l l h 从而t f 专e 是序有界的 又因为f 是d e d e k i n d 的 所以t f 一e 是正则的 现证明t f 7je 是序连续的 对五7 中固定的x v 0 厂 f 有 i 丁 if x 纠t x 厂 1ti x 厂 s x 特别地 令五 尸且无山o 则 i 丁 i 五 x 五 s x 山0 从而ir l 五 x j 0 即在e 中 有lr 7l 五山0 因此ir i 是序连续的 故丁 是序连续的 事实上 上述定理的逆也是成立的 即有如下进 步的结论 此结果在文献 1 0 1 中 以另一种形式出现 这里提供了另一种证明 定理3 1 4 e 和f 是b a n a c h 格 则t e f 是广义正则的当且仅当t f 7 一e 是正则的 证明 若t e 专f 是广义正则的 现证明t 7 f 哼e 是正则的 对于t e 斗f 是正则的 则对任意的x 巨 存在算子0ss e f 满足 it xi s x 由模的定义很容易证明l 硝 x i f s x 并且对任意的x 巨 有 l 磺i x l l 缎 z s z 夥 x 从而d 是序有界的并且在e 中s u p d 存在 即r 是正则的 另一方面 若r 是正则的 则存在算子0 u v f 一e 7 使得t u v 于是t u 一矿 且r t i e u i e y 7k 从而说明r 是广义正则的 根据上面这个定理 很容易得出下面的推论 推论3 1 5 若t e f 是广义正则的 则t e 一f 是正则的且是序连续算子 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 由于b a n a c h 格的共轭具有性质 p 见第二节定义3 2 7 根据下一节的定理3 2 8 有如下结果 定理3 1 6 t e 寸f 是有界线性算子 若r 的序共轭算子t f 7 一e 是广义正则 的 则t e f 是广义正则的 3 2 广义正则算子的正则性 一般情况下 对任意的b a n a c h 格e 有 e f c l p e f c l e f 那么很自 然要问什么时候其反包合关系成立呢 即广义正则算子何时是正则的 本节将提供一 些充分条件 首先我们看一个反例 例3 2 1 令t 饥o 1 专 的算子 定义 丁 厂 f 厂 x s i n x d x f x s i n 2 x d x 容易验证r 是广义正则算子 但不是正 则的 定理3 2 2 3 f 是r i e s z 空间 若存在算子r 户寸 满足 对v xe 定有戤 叠 则对任意的r i e s z 空间e 有 e f 厶 e f 基于文献 6 的结果有 定理3 2 3 5 e f 是b a n a c h 格 若e 是彳三一空间或f 是彳m 一空间 则 l e 三 e f 定理3 2 4 5 4 4 1 e f 是b a n a c h 格 若v 丁 l e f 满足l e f e f 和 丁 i 丁l e p k 则要么e 与一个a l 空间序同构 要么 与一个彳m 一空间序同构 定义3 2 5 1 1 0 1 1 4 6 4 7 e 是r i e s z 空间 彳se 若彳在e 中是序有界的 则称彳 在e 中是b 序有界集 定义3 2 6 1 1 0 1 1 4 6 4 7 e f 是r i e s z 空间 若算子丁将e 中的b 序有界集映为f 中的 b 序有界集 则称t e 寸f 是b 序有界算子 定义3 2 7 t 1 1 若e 的子集么在f 中是序有界的可得出彳在e 中是序有界的 则称 一个b a n a c h 格e 具有b 性质 定理3 2 8 若e 是b a n a c h 格 f 具有b 性质 则厶 e 胛 e f 证明 若t e 寸f 是序有界算子 c a e 是序有界集 则丁 彳 是 中的序有界集 显然它在f 中也是序有界的 所以厶 e f 胛 e f 现在令t e 寸f 是广义正则算子 则t e 专f 是序有界的 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 即 对 0 x e e 3 x f 使得一 r y x 由于f 具有b 性质 从而 存在f l t 2 f 使得f l z y t 2 即t 厶 e f 所以l b e f 互l p r e f 定义3 2 9 1 7 s 称b a n a c h 格f 具有性质 尸 如果存在正的投影算子p f 专f 这 里f 可以看作f 的子格 定理3 2 1 0 若b a n a c h 格f 具有性质 p 则对任意的b a n a c h 格e 有 厶 e l e e e f 证明 我们只需证明 e f 2 三钟 e f 若t l e f 且t e 专p 是正则的 由上面的定理3 1 3 知道t f 7 一e 是正则 的 由 8 中性质1 5 1 2 知jtl pr i 扛pr 1 7f 其中f e 专e 是典型嵌入映射 则丁 是正则的 从而 e f 2 卯 e f 如果b a n a c h 格e 中每个单调且范数有界序列是收敛的 则称e 是k b 一空间 k a n o t o r o v i c h b a n a n c h 详细见 8 由于k b 一空间和b a n a c h 格的共轭具有性质 p 所以有下面的推论 推论3 2 1 1 如果b a n a c h 格f 是b a n a c h 格的共轭的或是一个k b 一空间 则对任 意的b a n a c h 格e 有 e z p r e f 下列结果显示 在空间有序连续范数的前提下 其k b 一性质是本质的 定理3 2 1 2 若b a n a c h 格f 具有序连续范数 则下面结论等价 1 对任意的b a n a c h 格e l r e f l e e e f 2 厶 0 1 f l e t 厶 o l f 3 f 是一个k b 一空间 证明 1 j 2 是明显的并且 3 j 1 是上面推论的一部分 现在证明 2 j 3 假设 2 成立但是f 不是k b 一空间 由 3 中定理2 4 1 2 知f 包含一个子格与c 0 同 构 则存在一个不交序列 气 f c 使得l 巳j l l 并且 巳 f 和气的自然基等价 很容易证明 在f 中不是序有界的 用t f f 厂 砂k 定义算子r 厶 o 1 f 这里 l x 代表的第疗个r a d e m a c h e r 函数 则r 是广义正则的 由假设知丁是正则的并且很容易证明t i 之 v n n 即 巳 f 是序有界的 从而 产生矛盾 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 3 3 广义正则算子空间的r i e s z 分解性质 定义3 3 1 h 7 e 是序向量空间 对vx 五 z 2 e 满足o xaz t z 2 若存在 五 恐 e 使得0 毛 毛 0 而 z 2 且x 五十 则称e 具有r i e s z 分解性质 定义3 3 2 p 7 1 f 是a r c h i m e d e a n 空间 对f 中的序列 矗 乙 满足 邑 乙 v n 朋 n 存在y f 使得矗 少 乙 v n m n 则称f 具有c o n t o r 性质 定义3 3 3 4 e f 是r i e s z 空间 算子p e 专f vx 而 x 2 e 口 0 若满足 尸 而 x 2 p x t p x 2 r p c t x a p x 则称p 是次线性算子 定理3 3 4 4 设e f 是b a n a c h 格 e 可分 具有c o n t o r 性质 令p e f 是 连续的次线性算子 若g 是e 的子空间 t g 专f 是连续的线性算子 满足 z x p x v x e g 则存在丁在e 上的延伸于 满足于 x p x v x e 定理3 3 5 设e f 是b a n a c h 格 e 可分 f 具有c o n t o r 性质 则 e f 具有 r i e s z 分解性质 证明 令0 t 是 刃 e f 使得t 墨 我们只需证明存在两个线性算子石 正 三 e f 满足0 z 墨 f 1 2 且 t 石 互 考虑b a n a c h 格e xe 具有字典序和范数 定义p e e 专f 满足 p x l 而 s 毛 而 五 x 2 e xe 则p 是次线性的 由于格运算是连续的且 s 墨是连续的 所以p 也是连续的 考虑e xe 的子空间g x x ix 毋 定义g 上的算子 t o g 争f r o x x z 工 x e 则t o 是连续的线性算子 且 t o x x 丁 x t x r x 一 t x s l x 孓 x p x x 从而在e x e 上存在瓦的延伸于 满足不等式 t x t 吻 p 而 恐 x x e xe 现定义 互 x t x 0 r l e f 五 x r o x 互 e 寸f 则石 互就是我们需要的算子 事实上 比 e 有 五 x r x o e x 0 s x 一五 x 五 一x r 一x 0 尸 一x 0 s 一x s z 一 西南交通大学硕士研究生学位论文 第15 页 子 即v x e s x 一 五 z s x 若x 0 贝0x x z 一 0 所以 0 互 x s x v x e 同样地 0 互 x 叉 z 这说明五 互是正则的 而正则算子都是广义正则的 所以互 正是广义正则算 最后 v x e 有 t x 写 x x t x 0 丁 0 x 互 x 互 x 于是 e f gr i e s z 分解性质 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 第4 章广义i e 贝 t l 算子空间的拓扑性质 本章将仿照正则算子范数引入广义正则算子范数 并证明其完备性 在此基础上 给出了算子范数 广义正则算子范数 正则算子范数等价性之空间条件 以及构造了 部分反例 本节中e 均表示b a n a c h 格 4 1 广义正则算子空间的完备性 对于正则算子空间 在其正则算子范数下成其为b a n a c h 空间 即有 参见 8 引理4 1 1 e 是b a n a c h 格 对任意的丁 厶 e 定义丁的正则算子范数 i i rj i i n f i is l i s t e f 一r t s 则 e f i 是b a n a c h 空间且i i t 悃l t l i 若f 又是d e d e k i n d 完备的 n l r e f i 是一个b a n a c h 格 此时 t1 1 1 1 1t 忆 类似于正则算子空间 在广义正则算子空间上赋予所谓的广义正则算子范数 即 对任意的广义正则算子t e 9 f 定义 l i 丁i i p r i n f i lsl i s t e f 一r t s 可以得到下面的结果 定理4 1 2 e f 是b a n a e h 格 在广义正则算子范数 i 丁峙下三矿 e f 是 d b a n a c h 空间 证明 令乙 l p r e f 是柯西列 由 8 的性质1 3 6 知 存在r e