高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性课件 理 苏教版.ppt

3 2导数的应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的单调性在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 2 函数的极值 1 求函数y f x 的极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 知识梳理 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程的根 考察f x 在方程的根附近的左右两侧导数值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 f x 0 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 第一步求f x 在区间 a b 上的极值 第二步将第一步中求得的极值与f a f b 比较 得到f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 f a f b f a f b 1 在某区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间上为增 减 函数的充分不必要条件 2 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是对 x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 上的任何子区间内都不恒为零 3 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0 2 如果函数f x 在某个区间内恒有f x 0 则f x 在此区间内没有单调性 3 函数的极大值不一定比极小值大 4 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 6 三次函数在r上必有极大值和极小值 考点自测 1 教材改编 f x x3 6x2的单调递减区间为 答案 解析 0 4 f x 3x2 12x 3x x 4 由f x 0 得0 x 4 单调递减区间为 0 4 2 教材改编 函数f x x 2sinx在 0 上的单调递增区间为 答案 解析 3 教材改编 函数y 3x3 9x 5的极大值为 答案 解析 11 y 9x2 9 令y 0 得x 1 当x变化时 y y的变化情况如下表 从上表可以看出 当x 1时 函数y有极大值 3 1 3 9 1 5 11 4 函数f x x2 3x 4在 0 2 上的最小值是 答案 解析 f x x2 2x 3 令f x 0 得x 1 x 3舍去 5 设a r 若函数y ex ax有大于零的极值点 则实数a的取值范围是 答案 解析 1 y ex ax y ex a 函数y ex ax有大于零的极值点 则方程y ex a 0有大于零的解 当x 0时 ex 1 a ex 1 几何画板展示 第1课时导数与函数的单调性 题型分类深度剖析 题型一不含参数的函数的单调性例1 1 函数y x2 lnx的单调递减区间为 答案 解析 0 1 令y 0 得0 x 1 单调递减区间为 0 1 2 已知定义在区间 上的函数f x xsinx cosx 则f x 的单调递增区间是 答案 解析 f x sinx xcosx sinx xcosx 令f x xcosx 0 确定函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 思维升华 跟踪训练1 1 函数y 4x2 的单调增区间为 答案 解析 2 已知函数f x xlnx 则下面关于函数f x 单调性的判断正确的是 在 0 上递增 在 0 上递减 在 0 上递增 在 0 上递减 答案 解析 因为函数f x xlnx 定义域为 0 所以f x lnx 1 x 0 解答 f x 6x2 3tx 3t2 3 2x t x t t 0 以下分两种情况进行讨论 1 研究含参数的函数的单调性 要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 2 划分函数的单调区间时 要在函数定义域内讨论 还要确定导数为0的点和函数的间断点 3 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性 如f x x3 f x 3x2 0 f x 0在x 0时取到 f x 在r上是增函数 思维升华 跟踪训练2讨论函数f x a 1 lnx ax2 1的单调性 解答 几何画板展示 f x 的定义域为 0 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 题型三已知函数单调性求参数例3 2016 南通模拟 已知函数f x lnx g x ax2 2x a 0 1 若函数h x f x g x 存在单调递减区间 求a的取值范围 解答 几何画板展示 所以a 1 即a的取值范围为 1 2 若函数h x f x g x 在 1 4 上单调递减 求a的取值范围 解答 由h x 在 1 4 上单调递减得 引申探究1 本题 2 中 若函数h x f x g x 在 1 4 上单调递增 求a的取值范围 解答 由h x 在 1 4 上单调递增得 当x 1 4 时 h x 0恒成立 a 1 即a的取值范围是 1 2 本题 2 中 若h x 在 1 4 上存在单调递减区间 求a的取值范围 解答 h x 在 1 4 上存在单调递减区间 则h x 0在 1 4 上有解 a 1 即a的取值范围是 1 根据函数单调性求参数的一般思路 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为零 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 3 函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 思维升华 跟踪训练3已知函数f x exlnx aex a r 1 若f x 在点 1 f 1 处的切线与直线y x 1垂直 求a的值 解答 2 若f x 在 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 解答 几何画板展示 若f x 为单调递减函数 则f x 0在x 0时恒成立 由g x 0 得x 1 故g x 在 0 1 上为单调递减函数 在 1 上为单调递增函数 此时g x 的最小值为g 1 1 但g x 无最大值 且无趋近值 故f x 不可能是单调递减函数 若f x 为单调递增函数 由g x 0 得0 x 1 故实数a的取值范围是 1 典例 16分 已知函数f x lnx g x f x ax2 bx 其中函数g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于x轴 1 确定a与b的关系 2 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论 常见的分类讨论标准有以下几种可能 1 方程f x 0是否有根 2 若f x 0有根 求出根后判断其是否在定义域内 3 若根在定义域内且有两个 比较根的大小是常见的分类方法 思想方法指导 用分类讨论思想研究函数的单调性 思想与方法系列5 规范解答 解 1 依题意得g x lnx ax2 bx 则g x 2ax b 2分 由函数g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于x轴 得g 1 1 2a b 0 b 2a 1 4分 函数g x 的定义域为 0 由g x 0 得01 8分 综上可得 当a 0时 函数g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2015 课标全国 改编 设函数f x 是奇函数f x x r 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0 则使得f x 0成立的x的取值范围是 答案 解析 1 0 1 因为f x x r 为奇函数 f 1 0 所以f 1 f 1 0 则g x 为偶函数 g 1 g 1 0 故g x 在 0 上为减函数 在 0 上为增函数 所以在 0 上 当0 x 1时 g x g 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综上 知使得f x 0成立的x的取值范围是 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知函数f x x3 ax 4 则 a 0 是 f x 在r上单调递增 的 条件 答案 解析 充分不必要 故 a 0 是 f x 在r上单调递增 的充分不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 在区间 1 1 内不是增函数的函数是 y ex x y sinx y x3 6x2 9x 2 y x2 x 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y ex x y ex 1 0 在区间 1 1 内是增函数 y sinx y cosx 在区间 1 1 内是增函数 y x3 6x2 9x 2 y 3x2 12x 9 3 x 2 2 3 在区间 1 1 内是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知函数y f x 在定义域 4 6 内可导 其图象如图 记y f x 的导函数为y f x 则不等式f x 0的解集为 答案 解析 不等式f x 0的解集即函数y f x 的减区间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2017 江苏扬州中学月考 若函数f x mx2 lnx 2x在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 答案 解析 由题意知 f x 0在 0 上恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 定义在r上的函数f x 满足 f x f x 恒成立 若x1 x2 则与的大小关系为 答案 解析 由题意得g x 0 所以g x 单调递增 当x1 x2时 g x1 g x2 即 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 苏州模拟 若函数f x x3 bx2 cx d的单调减区间为 1 3 则b c 答案 解析 12 f x 3x2 2bx c 由题意知 1 x 3是不等式3x2 2bx c 0的解集 1 3是f x 0的两个根 b 3 c 9 b c 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 无锡模拟 已知定义在r上的函数f x 其导函数f x 的大致图象如图所示 则下列叙述正确的是 f b f c f d f b f a f e f c f b f a f c f e f d 答案 解析 依题意得 当x c 时 f x 0 所以函数f x 在 c 上是增函数 因为af b f a 因此 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 对f x 求导 得f x x2 x 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 全国甲卷改编 若函数f x x sin2x asinx在 单调递增 则a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 江苏南京十三中月考 函数f x ax3 3x2 3x a 0 1 讨论f x 的单调性 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 函数f x ax3 3x2 3x a 0 f x 3ax2 6x 3 令f x 0 即3ax2 6x 3 0 则 36 1 a 当a 1时 0 f x 0 f x 在r上是增函数 当a0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当00 当x x2 x1 时 f x 0 故函数f x 在 x1 x2 上是减函数 在 x1 x2 上是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若函数f x 在区间 1 2 上是增函数 求a的取值范围 解答 当a 0时 f x 3ax2 6x 3 0 x 1 2 故a 0时 f x 在区间 1 2 上是增函数 当a 0时 由f x 在区间 1 2 上是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 北京 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 解答 f x 的定义域为r f x ea x xea x b 1 x ea x b 解得a 2 b e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1