全国高中数学竞赛二试模拟训练题(80)(1).doc

加试模拟训练题（80）1 abcd是一个平行四边形，e是ab上的一点，f为cd上的一点。af交ed于g，ec交fb于h。连接线段gh并延长交ad于l，交bc于m。求证：dl=bm.2.由0和1组成的、长度为n（如00101，10100长度都为5）的排列中，没有两个1相连的排列的个数记为f（n）约定f（0）=1试证明：（1）f（n）=f（n-1）+f（n-2），n2；（2）f（4k+2）可被3整除，k03.设abcd是块矩形的板，|ab|20，|bc|12，这块板分成2012个单位正方形设r是给定的正整数当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于在以a为顶点的小方块中放有一个硬币，我们的工作是要找出一系列的移动，使这硬币移到以b为顶点的小方块中(a)证明当r被2或3整除时，这一工作不能够完成(b)证明当r73时，这项工作可以完成(c)当r97时，这项工作能否完成？4.设是三个互不相等的正整数。求证：在，三个数中,至少有一个能被10整除。加试模拟训练题（80）1 abcd是一个平行四边形，e是ab上的一点，f为cd上的一点。af交ed于g，ec交fb于h。连接线段gh并延长交ad于l，交bc于m。求证：dl=bm.证 如图，设直线lm与ba的延长线交于点j，与dc的延长线交于点i。在ecd与fab中分别使用梅涅劳斯定理，得 ， .因为abcd，所以， .从而，即，故ci=aj. 而，且bm+mc=bc=ad=al+ld. 所以bm=dl。2.由0和1组成的、长度为n（如00101，10100长度都为5）的排列中，没有两个1相连的排列的个数记为f（n）约定f（0）=1试证明：（1）f（n）=f（n-1）+f（n-2），n2；（2）f（4k+2）可被3整除，k0【题说】1993年河北省赛二试题3【证】（1）长度为1的排列只有0，1，故f（1）=2，长度为2的排列有00，01，10，11，故f（2）=3所以f（2）=f（1）+f（0）当n2时，将长度为n的排列分为两类：一类以0结尾，另一类以01结尾以0结尾的排列中无两个1相连的排列的个数为f（n-1）；以01结尾的排列中无两个1相连的排列的个数为f（n-2）所以对任意自然数n2，总有f（n）=f（n-1）+f（n-2）（2）用数学归纳法k=0时，f（4k+2）=f（2）=3，3|f（2）假设当k=m时，3|f（4+2），即f（4m+2）=3q令f（4m+3）=3q1+r，0r3，由（1）有f（4m+4）=f（4m+3）+f（4m+2）=3q2+rf（4m+5）=f（4m+4）+f（4m+3）=3q3+2rf（4m+6）=f（4m+5）+f（4m+4）=3q4+3r=3（q4+r）这就是说，当k=m+1时，f（4+2）是3的倍数所以对一切k0，有3|f（4k+2）3.设abcd是块矩形的板，|ab|20，|bc|12，这块板分成2012个单位正方形设r是给定的正整数当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于在以a为顶点的小方块中放有一个硬币，我们的工作是要找出一系列的移动，使这硬币移到以b为顶点的小方块中(a)证明当r被2或3整除时，这一工作不能够完成(b)证明当r73时，这项工作可以完成(c)当r97时，这项工作能否完成？【题说】 第三十七届(1996年)国际数学奥林匹克题1本题由芬兰提供【解】 考虑格点的集i(x，y)：1x20，1y12，x、y均为整数a(1，1)，b(1，20)用“”表示移动，当且仅当整数a、b满足a2b24 (1)时，(x，y)(xa，yb)问题即能否由a到b(仅允许在i中移动)(a)当2|r时，满足(1)的整数a、b有相同的奇偶性，从而坐标和xy与xyab的奇偶性相同，即在移动中坐标和的奇偶性不变，而11与120奇偶性不同，所以不能由a到b由于a20，1(mod 3)，b20，1(mod 3)，所以在3|r时，满足(1)的a、b必须a2b20(mod 3)，即ab0(mod 3)从而在移动中，横坐标x始终在mod 3的同一个类中，而20与1 mod 3不同余，所以不能由a到b(b)738232具体移动步骤为(1，1)(9，4)(17，7)(9，10)(12，2)(20，5)(12，8)(20，11)(17，3)(9，6)(17，9)(20，1)(c)9729242，考虑纵坐标的变化可能：9511062117312由于不成圈，从1变成1每步必须重复偶数次，因而横坐标增加偶数，不可能由1变为204.设是三个互不相等的正整数。求证：在，三个数中,至少有一个能被10整除。注：比较好考虑，分如下几类。（1）三者中有10的倍数，则自然可以考虑。（2）若无10的倍数，则当三者均为偶数时，因为偶数的平方其个位数为4，6，中必定有两个个位数相同，命题得证。当三者均为奇数时，如果有个位数为5，则显然成立。如果