高中数学 导数应用综合题专练 北师大版选修11.doc

导数应用综合题专练1(2015新课标卷文，21)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)单调递增；若a0，则当x时f(x)0，当x时f(x)0时f(x)在x取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2ln aa10，令g(a)ln aa1.则g(a)在(0，)是增函数，且g(1)0，于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)2(2015浙江文，20)设函数f(x)x2axb(a，br)(1)当b1时，求函数f(x)在1,1上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在1,1上存在零点，0b2a1.求b的取值范围解析(1)当b1时，f(x)(x)21，故其对称轴为x.当a2时，g(a)f(1)a2.当22时，g(a)f(1)a2.综上，g(a)(2)设s，t为方程f(x)0的解，且1t1，则由于0b2a1，因此s(1t1)当0t1时，st，由于0和94，所以b94.当1t0时，st，由于20和30，所以3b0(x0)，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x(，0)时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fba3b0时，a3ac0，或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3)1，.综上c1.4(2015湖北文，21)设函数f(x)，g(x)的定义域均为r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)g(x)ex，其中e为自然对数的底数(1)求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x0时，f(x)0，g(x)1；(2)设a0，b1，证明：当x0时，ag(x)(1a)bg(x)(1b)解析(1)由 f(x)，g(x)的奇偶性及f(x)g(x)ex，得：f(x)g(x)ex.联立解得f(x)(exex)，g(x)(exex)当x0时，ex1,0ex 0. 又由基本不等式，有g(x)(exex)1，即g(x)1. (2)由(1)得f(x)(exex)g(x), g(x)(exex)f(x)， 当x0时，ag(x)(1a)等价于f(x)axg(x)(1a)x，bg(x)(1b)等价于f(x)0时，(1)若c0，由，得h(x)0，故h(x)在0，) 上为增函数，从而h(x)h(0)0，即f(x)cxg(x)(1c)x，故成立(2)若c1，由，得h(x)0，故h(x)在0，)上为减函数，从而h(x)h(0)0，即f(x)cxg(x)(1c)x，故成立综合，得ag(x)(1a)bg(x)(1b)5(2015山东文，20)设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)min f(x)，g(x)(min p，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值解析(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)lnx.当x(0,1时，h(x)0.又h(2)3ln 2ln 8110.所以存在x0(1,2)，使h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0,1，m(x)0；若x(1，x0)，由m(x)ln x10，可知0m(x)m(x0)；故m(x)m(