河南省驻马店市高二数学第二学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河南省驻 马店市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知a是实数，i是虚数单位，是纯虚数，则a的值为（）a 1 b 1 c d 2已知各项均为正数的等比数列an中，3a1，成等差数列，则=（） a 27 b 3 c 1或3 d 1或273设随机变量x服从正态分布n（3，4），若p（x2a+3）=p（xa2），则a的值为（） a b 3 c 5 d 4下列结论正确的是（） a 若向量，则存在唯一实数使= b 已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“0” c 若命题p：xr，x2x+10，则p：xr，x2x+10 d “若=，则cos=”的否命题为“若，则cos”5若n=2xdx，则（x）n的展开式中常数项为（） a b c d 6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） a 2+ b 3+ c 2+ d 3+7为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（） a 向右平移个单位长度 b 向右平移个单位长度 c 向左平移个单位长度 d 向左平移个单位长度8执行如图所示的程序框图，输出的t=（） a 29 b 44 c 52 d 629已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为（） a +=1 b +=1 c +=1 d +=110已知x0，由不等式x+2=2，x+=3=3，可以推出结论：x+n+1（nn*），则a=（） a 2n b 3n c n2 d nn11已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别f1（c，0），f2（c，0），若双曲线上存在点p，使得csinpf1f2=asinpf2f10，则该曲线的离心率e的取值范围是（） a （1，） b c d 12已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（） a （1，+） b （1，1 c （，1） d 1，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有种14曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为15四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，且底面abcd是边长为1的正方形，paabcd，则该球的体积为16如果不等式（a1）x的解集为a，且ax|0x2，那么实数a的取值范围是三、解答题（共5小题，满分60分）17已知函数f（x）=sin（2x）+2cos2x1（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且a=1，f（a）=，求abc的面积的最大值18甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（）记x为比赛决胜出胜负时的总局数，求x的分布列和均值（数学期望）19如图，三棱锥pabc中，pb底面abc，bca=90，pb=bc=ca=2，e为pc的中点，点f在pa上，且2pf=fa（1）求证：平面pac平面bef；（2）求平面abc与平面bef所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值20若ab是椭圆c：+=1（abc）垂直于x轴的动弦，f为焦点，当ab经过焦点f时|ab|=3，当ab最长时，afb=120（）求椭圆c的方程；（）已知n（4，0），连接an与椭圆相交于点m，证明直线bm恒过x轴定点21设函数f（x）=x2（a2）xalnx（i）求函数f（x）的单调区间；（）若方程f（x）=c（cr），有两个不相等的实数根x1、x2，求证：请考生在第22、23、24题中仍选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2b铅笔在答题卡上把所做题目对应的标号涂黑【选修4-1：几何证明题】22如图所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab；（）求证：acbc=2adcd【选修4-4：坐标系与参数方程】23在极坐标系中，设圆c1：=4cos 与直线l：= （r）交于a，b两点（）求以ab为直径的圆c2的极坐标方程；（）在圆c1任取一点m，在圆c2上任取一点n，求|mn|的最大值【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|xa|x+3|，ar（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若当x0，3时，f（x）4，求a的取值范围2014-2015学年河南省驻马店市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知a是实数，i是虚数单位，是纯虚数，则a的值为（） a 1 b 1 c d 考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据它是纯虚数求得a的值解答： 解：=+i 是纯虚数，=0，且 0，求得a=1，故选：a点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2已知各项均为正数的等比数列an中，3a1，成等差数列，则=（） a 27 b 3 c 1或3 d 1或27考点： 等比数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意可得公比q的方程，解得方程可得q，可得=q3，代值计算可得解答： 解：设等比数列an的公比为q，由题意可得a3=3a1+2a2，a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q解得q=3，或q=1（舍去），=q3=27故选：a点评： 本题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题3设随机变量x服从正态分布n（3，4），若p（x2a+3）=p（xa2），则a的值为（） a b 3 c 5 d 考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题： 计算题；概率与统计分析： 根据正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可解答： 解：随机变量服从正态分布n（3，4），p（2a+3）=p（a2），2a+3+a2=6，3a=5，a=，故选：a点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题4下列结论正确的是（） a 若向量，则存在唯一实数使= b 已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“0” c 若命题p：xr，x2x+10，则p：xr，x2x+10 d “若=，则cos=”的否命题为“若，则cos”考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 根据特殊情况判断a；根据向量数量积的运算和向量夹角的范围判断b；根据特称命题的否定判断c；根据原命题的否命题的定义判断d解答： 解：a、当时，与任何向量都是平行向量，且=，a不正确；b、因为向量夹角的范围是0，180，所以0时，向量的夹角可能是180，但是，的夹角不是钝角，b不正确；c、命题p：xr，x2x+10，则p：xr，x2x+10，c不正确；d、“若=，则cos=”的否命题为“若，则cos”，d正确，故选：d点评： 本题考查命题真假的判断，四种命题的关系，涉及向量的知识，属于中档题5若n=2xdx，则（x）n的展开式中常数项为（） a b c d 考点： 二项式定理的应用专题： 二项式定理分析： 由条件求定积分可得n=4，再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项解答： 解：n=2xdx=x2=4，则（x）n =（x）4 的展开式的通项公式为 tr+1=x42r，令42r=0，求得r=2，可得展开式中常数项为 =，故选：a点评： 本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） a 2+ b 3+ c 2+ d 3+考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是一底面为正方形，高为1的四棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面为正方形，高为1的四棱锥，且底面正方形的底边长为，如图所示；pc平面abcd，pc=1，ac=bd=2，该四棱锥的表面积为s表面积=s正方形abcd+2spbc+2spab=+21+2=2+故选：a点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目7为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（） a 向右平移个单位长度 b 向右平移个单位长度 c 向左平移个单位长度 d 向左平移个单位长度考点： 函数y=asin（x+）的图象变换专题： 计算题分析： 先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x）到y=cos2x的路线，确定选项解答： 解：y=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度故选b点评： 本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意变换顺序8执行如图所示的程序框图，输出的t=（） a 29 b 44 c 52 d 62考点： 循环结构专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t，n的值，当s=12，n=4，t=29时，满足条件t2s，退出循环，输出t的值为29解答： 解：执行程序框图，有s=3，n=1，t=2，不满足条件t2s，s=6，n=2，t=8不满足条件t2s，s=9，n=3，t=17不满足条件t2s，s=12，n=4，t=29满足条件t2s，退出循环，输出t的值为29故选：a点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查9已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为（） a +=1 b +=1 c +=1 d +=1考点： 圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆c：+=1利用，即可求得椭圆方程解答： 解：由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，（2，2）在椭圆c：+=1（ab0）上又a2=4b2a2=20，b2=5椭圆方程为：+=1故选d点评： 本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键10已知x0，由不等式x+2=2，x+=3=3，可以推出结论：x+n+1（nn*），则a=（） a 2n b 3n c n2 d nn考点： 归纳推理专题： 探究型分析： 根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=+，再结合不等式的性质，可得为定值，解可得答案解答： 解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+n+1，要先将左式x+变形为x+=+，在+中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有为定值，可得a=nn，故选d点评： 本题考查归纳推理，需要注意不等式左右两边的变化规律，并要结合基本不等式进行分析11已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别f1（c，0），f2（c，0），若双曲线上存在点p，使得csinpf1f2=asinpf2f10，则该曲线的离心率e的取值范围是（） a （1，） b c d 考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 不防设点p（x，y）在右支曲线上，并注意到xa利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|pf1|和|pf2|代入，可求得e的范围解答： 解：不妨设p（x，y）在右支曲线上，此时xa，由正弦定理得，所以=，双曲线第二定义得：|pf1|=a+ex，|pf2|=exa，=x=a，分子分母同时除以a，得：a，1解得1e+1，故答案为：c点评： 本题主要考查了双曲线的应用考查了学生综合运用所学知识解决问题能力12已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（） a （1，+） b （1，1 c （，1） d 1，1）考点： 函数的零点与方程根的关系专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用分析： 作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=2，x3x4=1；1x42；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围解答： 解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=2，x3x4=1；1x42；故x3（x1+x2）+=+x4，其在1x42上是增函数，故2+1+x41+2；即1+x41；故选b点评： 本题考查了分段函数的应用，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有10种考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册c42种，根据分类计数原理得到结果解答： 解：由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册c42=6种根据分类计数原理知共10种，故答案为：10点评： 本题考查分类计数原理问题，关键是如何分类，属于基础题，14曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为考点： 导数的几何意义；直线的点斜式方程专题： 计算题分析： 先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积解答： 解：y=x3+x，y=x2+1f（1）=2在点（1，）处的切线为：y=2x与坐标轴的交点为：（0，），（，0）s=，故答案为：点评： 本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率属基础题15四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，且底面abcd是边长为1的正方形，paabcd，则该球的体积为考点： 球内接多面体；球的体积和表面积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由题意四棱锥pabcd，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积解答： 解：四棱锥pabcd，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以r=1，所以球的体积为：故答案为：点评： 本题是基础题，考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提16如果不等式（a1）x的解集为a，且ax|0x2，那么实数a的取值范围是a2，+）考点： 其他不等式的解法；集合的包含关系判断及应用专题： 计算题；作图题分析： 作函数y=和函数y=（a1）x的图象，根据不等式解集的几何意义，求出不等式的解集即可解答： 解：根据不等式解集的几何意义，作函数y=和函数y=（a1）x的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是a2，+）故答案为：a2，+）点评： 本题考查无理不等式的解法，考查作图能力，计算能力，是基础题三、解答题（共5小题，满分60分）17已知函数f（x）=sin（2x）+2cos2x1（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且a=1，f（a）=，求abc的面积的最大值考点： 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的图像与性质分析： （1）利用辅助角公式将函数f（x）进行化简，结合函数的单调性即可求函数f（x）的单调增区间；（2）利用三角函数的恒等变换，求出a的值，利用三角形的面积公式进行结合三角函数的最值性质进行求解即可解答： 解：函数f（x）=sin（2x）+2cos2x1=，由2k2x+2k+，kz，可得kxk+，kz函数的单调增区间：k，k+，kz（2），在abc中，当且仅当b=c时，abc的面积取到最大值点评： 本题主要考查三角函数单调性的应用以及三角函数的恒等变换，考查学生的运算能力18甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（）记x为比赛决胜出胜负时的总局数，求x的分布列和均值（数学期望）考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题： 概率与统计分析： （1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求x的分布列；以及均值解答： 解：用a表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，ak表示第k局甲获胜，bk表示第k局乙获胜，则p（ak）=，p（bk）=，k=1，2，3，4，5（）p（a）=p（a1a2）+p（b1a2a3）+p（a1b2a3a4）=（）2+（）2+（）2=（）x的可能取值为2，3，4，5p（x=2）=p（a1a2）+p（b1b2）=，p（x=3）=p（b1a2a3）+p（a1b2b3）=，p（x=4）=p（a1b2a3a4）+p（b1a2b3b4）=，p（x=5）=p（a1b2a3b4a5）+p（b1a2b3a4b5）+p（b1a2b3a4a5）+p（a1b2a3b4b5）=，或者p（x=5）=1p（x=2）p（x=3）p（x=4）=，故分布列为： x 2 3 4 5 p e（x）=2+3+4+5=点评： 本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力19如图，三棱锥pabc中，pb底面abc，bca=90，pb=bc=ca=2，e为pc的中点，点f在pa上，且2pf=fa（1）求证：平面pac平面bef；（2）求平面abc与平面bef所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定专题： 综合题分析： （1）证明ac平面pbc，可得acbe，又bepc，可得be平面pac，从而可得平面pac平面bef；（2）取af的中点g，ab的中点m，连接cg，cm，gm，证明平面cmg平面bef，则平面cmg与平面平面bef所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面abc与平面bef所成的二面角的平面角（锐角）解答： （1）证明：pb底面abc，且ac底面abc，acpb，由bca=90，可得accb，又pbcb=b，ac平面pbc，be平面pbc，acbe，pb=bc，e为pc中点，bepc，acpc=c，be平面pac，be平面bef，平面pac平面bef；（2）解：取af的中点g，ab的中点m，连接cg，cm，gm，e为pc的中点，2pf=af，efcg，cg平面bef，ef平面bef，cg平面bef同理可证：gm平面bef，cggm=g，平面cmg平面bef则平面cmg与平面平面bef所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面abc与平面bef所成的二面角的平面角（锐角）pb底面abc，cm平面abccmpb，cmab，pbab=b，cm平面pab，gm平面pab，cmgm，而cm为平面cmg与平面abc的交线，又am底面abc，gm平面cmg，amg为二面角gcma的平面角根据条件可知am=，ag=，在pab中，cosgam=，在agm中，由余弦定理求得mg=，cosamg=，故平面abc与平面pef所成角的二面角（锐角）的余弦值为点评： 本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题20若ab是椭圆c：+=1（abc）垂直于x轴的动弦，f为焦点，当ab经过焦点f时|ab|=3，当ab最长时，afb=120（）求椭圆c的方程；（）已知n（4，0），连接an与椭圆相交于点m，证明直线bm恒过x轴定点考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）通过计算即得结论；（）通过设bm直线方程并与椭圆方程联立，利用a、n、m三点共线，通过韦达定理代入计算、整理即得结论解答： （）解：由题可知，解得，椭圆c的方程为：；（）证明：设b（x1，y1），m（x2，y2），定点（x0，0），则a（x1，y1），bm直线方程为：y=k（xx0），联立bm与椭圆c的方程，消去y得：（3+4k2）2x28k2x0x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=，=（4x1，y1），=（4x2，y2），a、n、m三点共线，y2（4x1）+y1（4x2）=0，4（y1+y2）x1y2x2y1=0，4k（x1+x22x0）2kx1x2+kx0（x1+x2）=0，4（2x0）2+x0=0，整理得：32k232k2x08k2+8k2x0=0，即（1x0）（x0+4）=0，解得：x0=1或x0=4（舍），直线bm恒过x轴定点（1，0）点评： 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆方程，考查直线过定点问题，注意解题方法的积累，属于中档题21设函数f（x）=x2（a2）xalnx（i）求函数f（x）的单调区间；（）若方程f（x）=c（cr），有两个不相等的实数根x1、x2，求证：考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 导数的综合应用分析： （i）求出函数的导数通过当a0时，当a0时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间（ii）通过x1、x2是方程f（x）=c的两个不等实根，由（1）知a0设0x1x2，把根代入方程，作差，推出a的表达式，构造函数，利用新函数的导数，通过函数的单调性利用分析法证明即可解答： （12分）解：（i） f（x）=2x（a2）（x0）当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，函数f（x）的单调增区间为（0，+）当a0时，由f（x）0，得x；由f（x）0，得0x所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为（4分）（ii）证明：因为x1、x2是方程f（x）=c的两个不等实根，由（1）知a0不妨设0x1x2，则（a2）x1alnx1=c，（a2）x2alnx2=c两式相减得（a2）x1alnx1+（a2）x2+alnx2=0，即+2x12x2=ax1+alnx1ax2alnx2=a（x1+lnx1x2lnx2）所以a=因为f=0，当x时，f（x）0，当x时，f（x）0，故只要证即可，即证明x1+x2，即证明+（x1+x2）（lnx1lnx2）+2x12x2，即证明ln 设t=（0t1）令g（t）=lnt，则g（t）=因为t0，所以g（t）0，当且仅当t=1时，g（t）=0，所以g（t）在（0，+）上是增函数又g（1）=0，所以当t（0，1）时，g（t）0总成立所以原题得证 （12分）点评： 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，分类讨论思想的应用，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力请考生在第22、23、24题中仍选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2b铅笔在答题卡上把所做题目对应的标号涂黑【选修4-1：几何证明题】22如图所示，ac为o的直径，d为的中点，e为bc的中点（）求证：deab；（）求证：acbc=2adcd考点： 与圆有关的比例线段专题： 证明题分析： （i）欲证deab，连接bd，因为d为的中点及e为bc的中点，可得debc，因为ac为圆的直径，所以abc=90，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（ii）欲证acbc=2adcd，转化为adcd=acce，再转化成比例式=最后只须证明dacecd即可解答： 证明：（）连接bd，因为d为的中点，所以bd=dc因为e为bc的中点，所以debc因为ac为圆的直径，所以abc=90，所以abde（5分）（）因为d为的中点，所以bad=dac，又bad=dcb，则dac=dcb又因为addc，dece，所以dacecd所以=，adcd=acce，