【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）9.2 等差数列第3课时 湘教版必修4.doc

第3课时等差数列的前n项和公式学习目标重点难点1记住等差数列的前n项和公式，会推导等差数列的前n项和公式；2能利用等差数列的前n项和公式解决一些简单的计算问题；3能够利用等差数列的五个基本量a1，d，n，sn，an之间的关系解决计算问题；4能够解决等差数列前n项和的最值问题.重点：等差数列前n项和公式及其应用，等差数列前n项和的最值问题；难点：等差数列前n项和的最值问题的解法；疑点：等差数列的通项公式和前n项和公式.等差数列的前n项和公式等差数列前n项和公式是snna1d.预习交流1等差数列前n项和的两个公式有何异同点？如何选用两个公式？预习交流2等差数列前n项和公式与二次函数解析式有何关系？预习交流3若一个数列an的前n项和snan2bnc(a，b，cr)，那么该数列一定是等差数列吗？预习交流4等差数列an的前n项和sn是否一定存在最大值或最小值？怎样求解最值？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习交流1：提示：两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是公式sn还需要知道an，而公式snna1d还需要知道d.一般地，当已知首项、末项和项数时，选用公式sn；当已知首项、公差和项数时，则选用公式snna1d.预习交流2：提示：由等差数列的前n项和公式snna1d，可得snn2n.若设a，ba1，则有snan2bn.由此可知：当a0，即d0时，sn是关于n的二次函数，其中点(1，s1)，(2，s2)，(3，s3)，(n，sn)是二次函数yax2bx图象上的一群孤立的点预习交流3：提示：当c0时，该数列an一定是等差数列；当c0时，该数列一定不是等差数列，但从第2项起是等差数列预习交流4：提示：当d0时，an递增，sn必有最小值；当d0时，an递减，sn必有最大值可借助二次函数的对称轴求解sn的最值，也可通过分析an中正项、负项的变化情况求sn的最值一、等差数列前n项和的基本运算(1)设sn是等差数列an的前n项和，且a11，a47，则s9_.(2)设sn为等差数列an的前n项和，若s33，s624，则a9_.思路分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立关于基本量a1，d的方程组，求出a1，d的值再套用相关公式进行计算求解1设等差数列an的前n项和为sn，已知a23，a59，则s5等于()a15 b20 c25 d302已知sn为等差数列an的前n项的和，a2a54，s721，则a7的值为()a6 b7 c8 d9a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和sn都可以用三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，sn可知三求二，利用方程(组)的思想，在具体求解过程中要注意与等差数列的性质相联系，利用整体思想解题，可简化运算二、等差数列前n项和的最值问题已知an为等差数列，a125，s17s9，求前n项和sn的最大值思路分析：(思路一)题目中a1已知，由s17s9求出公差d，从而得到sn的表达式，利用求二次函数的最值的方法，结合对称轴进行求解(思路二)题目中a1已知，由s17s9求出公差d，从而得到an的表达式，然后利用an找出数列中正负项的分界项，从而求出sn取最大值时n的值，然后得到sn的最大值(思路三)由s17s9可知a10a11a170，然后利用等差数列的性质，找出数列中正负项的分界项，从而求出sn取最大值时n的值，然后得到sn的最大值已知数列an为等差数列，且an2n26，则当其前n项和sn取最小值时，n的值等于()a12 b12或13c13或14 d13一般地，在等差数列an中，若a10，d0，则其前n项和有最大值；若a10，d0，则其前n项和有最小值，具体求解方法有以下几种：(1)利用snn2n，二次函数配方法求得最值以及取最值时n的值；(2)利用等差数列的性质，找出数列中正负项的分界项利用an，当an0，d0时，前n项和有最大值，可由an0，且an10，求得n的值；当an0，d0时，前n项和有最小值，可由an0，且an10，求得n的值1设sn为等差数列an的前n项和，公差d2，若s10s11，则a1()a18 b20c22 d242设数列an是等差数列，且a2a3a415，则这个数列的前5项和s5()a10 b15c20 d253已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以sn表示an的前n项和，则使得sn达到最大值的n是()a21 b20c19 d184等差数列an中前n项和为sn，已知s525，a23，则a4_.5已知等差数列an前n项和为sn，且a310，s672.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan30，求数列bn的前n项和tn.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：(1)81(2)15解析：(1)设公差为d，则a4a13d13d7，所以d2.于是s99a1d9281.(2)设公差为d，则解得a9a18d15.迁移与应用：1c解析：设公差为d，则解得于是s551225.2d解析：设公差为d，则解得所以a73629，故选d.活动与探究2：解：(解法一)设该等差数列的公差为d，因为a125，s17s9，所以1725d925d，解得d2.于是sn25n2n226n(n13)2169，因此当n13时，sn取最大值169.(解法二)同解法一先求得d2，于是an252(n1)272n.因为a1250，所以由解得12.5n13.5.由于nn*，所以n13，即a130，a140，故当n13时，sn取最大值，最大值为s131325(2)169.(解法三)由于s17s9，所以a10a11a170，由等差数列的性质得a10a17a11a16a12a15a13a14，所以4(a13a14)0，又因为a1250，所以必有a130，a140，因此当n13时，sn取最大值，最大值为s13169.迁移与应用：b解析：因为an2n26，所以a1240，a130，a140，所以当其前n项和sn取最小值时，n的值等于12或13.当堂检测1b解析：依题意知10a1(2)11a1(2)，解得a120.2d解析：由a2a3a415得3a315，a35，于是s555a325.3b解析：由已知可得3d(a2a4a6)(a1a3a5)991056，所以d2.又因为a1a3a53a3105，所以a335，a1435，所以a139.由解得19.5n20.5，所以n20，即a200，a210，因此sn达到最大值的n是20.47解析：设公差为d，则解得于是