有关数列不等式放缩问题的研究.doc

有关数列不等式放缩问题的探究一、直接放缩1、放大或缩小“因式”；例1.（2009年四川）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解：（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是（）由（）知 = （舍去项直接放大） 又当当 例2.已知数列满足（）求数列的通项公式；（）证明：分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（3）设，则 例3、已知求证：证明： 例4、已知数列满足求证：证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明2、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例5、已知an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.3、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩例6、(2001年全国).已知i，m、n是正整数，且1imn.(1)证明：niAmiA；(2)证明：(1+m)n(1+n)m证明：(1)对于1im，且A =m(mi+1)，由于mn，对于整数k=1，2，i1，有，所以(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.二、 添减项放缩 例7. 设，求证.简析 观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例8. 设数列满足 （）证明对一切正整数成立；（）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）证明： 则例9. 已知数列的前项和满足 （）写出数列的前3项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有（04年全国卷） 简析 （）略，（） ；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩），于是 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。三 、部分项放缩1.固定一部分项，放缩另外的项例10.数列的通项公式，求证：它的前n项的和证明：例11.已知数列满足，（）。 （）求数列的通项公式； （）设，数列的前n项和，求证：对。解：（）， 又，数列是首项为3，公比为-2的等比数列，=，即。4分（）=， 当n3时，= = =,12分 又，对。13分例12、求证：证明：2.固定部分因子，放缩 例13 .设求证： 解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），于是例14.(2010四川) 设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）当0a时，试比较与4的大小，并说明理由.解：设a，则p1，1f(1)3当n1时，|f(1)1|24当n2时设k2,kN *时，则f(k)w_w w. k#s5_u.c o*m 1所以1f(k)1从而n1n-1+n+1-n1所以nf(1)n1n4综上所述，总有|n|4四、分组放缩 例15.求证:解析: 例16.(泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为1，0，值域也为1，0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 例17.求证:解析:一方面:(法二) 另一方面:五、 利用重要结论放缩1.利用均值不等式放缩例18. 设求证解析： 此数列的通项为，即 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 例19 .（全国联赛山东预赛题） 已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证： 证明： 例20. 求证.简析 不等式左边=，故原结论成立.2.利用柯西不等式放缩例21.若,求证:. 解析: 因为当时,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以 3利用假分数的一个性质 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例22. 求证证明：利用假分数的一个性质可得 即 例23.证明:(98年高考)解析: 运用两次次分式放缩: . . (1) . (2) 相乘,可以得到: 所以有4. 利用贝努利不等式放缩例24. （上海高考试题）求证证明：(此处)得 证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例25.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.5.利用不等式表示不超过 的最大整数放缩例26. 已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证:（05年湖北卷第（22）题）简析 当时，即 于是当时有 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； 引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。6.利用放缩例27. 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析：结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即7.若则（证略）例28. 设，求证：数列单调递增且 解析： 引入一个结论：若则（证略）整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）8.利用二项式放缩 , 例28.设，求证：数列单调递增且 证明： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有六、裂项放缩常用裂项放缩技巧(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例29.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例30：求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有例31.已知,求证:.解析:所以 从而七、迭代放缩 例32. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论例33.已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1)写出、的值; (2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，因为所以（2）因为所以,因为所以与同号，因为，即（3）当时，所以，所以例35（2011广东理20） 设b0,数列满足a1=b，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，解： （1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述八、构造函数例36. (2012四川)已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。解：（1）（2）n=2,a,(3)例37. 数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增，故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。九、构造数列放缩例38.设求证解：令则，递减，有，故 再如例4，令则，即递增，有，得证！ 例39.求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到所以 十、数学归纳法例40.已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（） （）若则当n2时,.解：()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = .由 两式可知: .例41 .设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 十一、使用加强命题法证明不等式 欲证明,只要证明:. 例42.求证:对一切,都有.解析: 从而 当然本题还可以使用其他方法,如: 所以. 例43.已知数列满足:,求证: 解析: ,从而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以综上有例44:已知数列满足:,求证: .解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,所以综上有. 例43.(2008年浙江高考试题)已知数列,.记,.求证:当时.(1); (2); (3). 解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明: (i)当时,结论成立; (ii)假设当时,则时, 从而,所以 所以