高中数学 专题1.1.1 正弦定理课件（提升版）新人教A版必修5.ppt

1 1正弦定理 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 基础回扣 2 正弦定理在解三角形中的应用 已知两边及其中一边的 求其他的边和角 已知两角及 求其他的边和角 对角 一边 例1 想一想 如何用 abc的外接圆证明这一定理 问题探讨与解题研究 类型一与正弦定理有关的推论 分析 作 abc的外接圆 在 abc中 令bc a ac b ab c 根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等 来证明这一关系 证明 在 abc中 已知bc a ac b ab c 作 abc的外接圆 o为圆心 连接bo并延长交圆于b 设bb 2r 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 同理 可得 这就是说 对于任意的三角形 上述关系式均成立 因此 得到等式 1 在 abc中 角a b c的对边分别是a b c 若a b c 1 2 3 则a b c等于 a 1 2 3 b 2 3 4 c 3 4 5 d 1 22 在 abc中 a 60 a 3 则 a b c d 练习 分析 1 由三个角的比值可得角的大小 进而求其正弦的比值 利用正弦定理求得边的比 2 根据比例的性质来求解 解析 1 选d a b c 1 2 3 故故sina sinb sin所以sina sinb sinc a b c 故选d 2 选d 由比例性质和正弦定理可知 小结 正弦定理的常用变形 1 a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 2 3 a b c sina sinb sinc 4 由变形 1 2 可以实现三角形中边与角之间的相互转化 这是正弦定理除了用于求边 角之外的另一重要功能 类型二解三角形例1 在 abc中 已知a 8 b 60 c 75 求a b c 思路点拨 已知两角和一边 可由内角和求第三个角a 再由正弦定理求b c 名师点评 已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用 求边时可用正弦定理的变式 把要求的边用已知条件表示出来再代入计算 1 为锐角 2 为钝角 为直角时 与 为钝角相同 a b时 一解 a b时 无解 1 在 abc中 a a 1 b 则b 2 已知a b c分别是 abc的三个内角a b c所对的边 若a 1 b a c 2b 则sinc等于 练习 分析 1 利用正弦定理求解即可 2 先由a b c 及条件得b 再利用正弦定理得a 进而得sinc 解析 1 选c 由正弦定理可得 2 选a 由a c 2b且a b c 得 sinc 1 类型三判定三角形的形状问题在 abc中 若sina 2sinbcosc 且sin2a sin2b sin2c 试判断 abc的形状 思路点拨 利用正弦定理将角的关系式sin2a sin2b sin2c转化为边的关系式 从而判断 abc的形状 名师点评 判断三角形的形状 主要看其是否是正三角形 等腰三角形 直角三角形 钝角三角形或锐角三角形等 要特别注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别 练习 1 在 abc中 则 abc的形状为 a 直角三角形 b 等腰三角形 c 等边三角形 d 等腰直角三角形 解析 1 选b 方法一 acos a bcos b asina bsinb 由正弦定理可得 a2 b2 a b abc为等腰三角形 方法二 acos a bcos b asina bsinb 由正弦定理可得 2rsin2a 2rsin2b 即sina sinb a b a b 不合题意舍去 故 abc为等腰三角形 当堂检测 2 在 abc中 已知c 10 a 105 c 30 则b等于 3 在 abc中 a b c分别为内角a b c所对的边 且满足sina 2 cosa a 2 b 45 则边b等于 解析 选c 由已知得sina cosa 2 即sin a 1 a 0 a a a 由正弦定理 4 在 abc中 若2acosb c 则2cos2 sinb 1的取值范围是 解析 选c 由2acosb c得2sinacosb sinc sin a b 即2sinacosb sinacosb cosasinb 即sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 四 课堂小结 1