高考数学总复习 课时作业29 新人教版.doc

课时作业(29)(第一次作业)1已知正方体abcda1b1c1d1，e、f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是()a60b45c30 d90答案b解析连接a1d，dc1，a1c1，e，f为a1d，a1c1中点，efc1d.ef和cd所成角即为c1dc45.2在正方体abcda1b1c1d1中，m是ab的中点，则sin，的值等于()a. b.c. d.答案b解析分别以da，dc，dd1为x，y，z轴建系，令ad1，(1,1,1)，(1，0)cos，cm.sin，.3(2012陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a. b.c. d.答案a解析不妨设cb1，则cacc12.由题图知，a点的坐标为(2,0,0)，b点的坐标为(0,0,1)，b1点的坐标为(0,2,1)，c1点的坐标为(0,2,0)所以(0,2，1)，(2,2,1)所以cos，.4已知正三棱柱abca1b1c1所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为()a. b.c. d.答案d解析取ac中点e，令ab2分别以eb，ec，ed为x，y，z轴建系b1(，0,2)，c(0,1,0)，a(0，1,0)，d(0,0,2)，(，0,0)，(0,1，2)，(0，1，2)，平面b1dc法向量为n(0,2,1)cos，nad与面b1dc所成的角正弦值为.5已知长方体abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为()a. b.c. d.答案c解析连接a1c1交b1d1于o点，由已知条件得c1ob1d1，且平面bdd1b1平面a1b1c1d1，所以c1o平面bdd1b1.连接bo，则bo为bc1在平面bdd1b1上的射影，c1bo即为所求，oc1a1c1ac2，bc12.通过计算得sinc1bo.6若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()a. b.c. d.答案b解析以正三棱锥oabc的顶点o为原点，oa，ob，oc为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)侧面oab的法向量为(0,0,1)，底面abc的法向量为n(，)cos，n.7正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_答案30解析如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60.直线bc与平面pac所成的角为906030.8(2011大纲全国理)己知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1、cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于_答案解析设面aef与面abc所成的二面角为，正方体abcda1b1c1d1的棱长为3，则aef在面abc上的射影是abc.在aef中，ae，af，ef.aef的面积等于，而abc的面积等于32，因此有cos，sin，tan，即面aef与面abc所成的二面角的正切值是.9.如图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_答案(1,1,1)解析连接ac，bd交于o，连接oe，cos，cosaeo.又oa，oe1，e为(1,1,1)10(2012天津)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，adpd，bc1，pc2，pdcd2.(1)求异面直线pa与bc所成角的正切值；(2)证明：平面pdc平面abcd；(3)求直线pb与平面abcd所成角的正弦值解析(1)如图，在四棱锥pabcd中，因为底面abcd是矩形，所以adbc且adbc.故pad为异面直线pa与bc所成的角又因为adpd，在rtpda中，tanpad2.所以，异面直线pa与bc所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面abcd是矩形，故adcd，又由于adpd，cdpdd，因此ad平面pdc，而ad平面abcd，所以平面pdc平面abcd.(3)在平面pdc内，过点p作pecd交直线cd于点e，连接eb.由于平面pdc平面abcd，而直线cd是平面pdc与平面abcd的交线故pe平面abcd，由此得pbe为直线pb与平面abcd所成的角在pdc中，由于pdcd2，pc2，可得pcd30.在rtpec中，pepcsin30.由adbc，ad平面pdc，得bc平面pdc.因此bcpc.在rtpcb中，pb.在rtpeb中，sinpbe.所以直线pb与平面abcd所成角的正弦值为.11.如右图所示，abcd是直角梯形，abc90，sa底面abcd，saabbc1，ad.求面scd与面sba所成二面角的余弦值解析以a为坐标原点，ba、ad、as所在直线分别为x、y、z建立如图所示的空间直角坐标系，则s(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0，0)(1,1，1)，.设平面scd的法向量为n(x，y，z)n，n，n0，n0.即解得xz，y2z.令z1，则n(1,2,1)又平面sab的法向量为，cosn，.由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角所求二面角的余弦值为arccos.12.(2012山东)在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab60，fc平面abcd，aebd，cbcdcf.(1)求证：bd平面aed；(2)求二面角fbdc的余弦值解析(1)证明：因为四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab60，所以adcbcd120.又cbcd，所以cdb30.因此adb90，即adbd.又aebd，且aeada，ae，ad平面aed，所以bd平面aed.(2)方法一由(1)知adbd，所以acbc.又fc平面abcd，因此ca，cb，cf两两垂直以c为坐标原点，分别以ca，cb，cf所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设cb1，则c(0,0,0)，b(0,1,0)，d(，0)，f(0,0,1)因此(，0)，(0，1,1)设平面bdf的一个法向量为m(x，y，z)，则m0，m0.所以xyz.取z1，则m(，1,1)由于(0,0,1)是平面bdc的一个法向量，则cosm，.所以二面角fbdc的余弦值为.方法二取bd的中点g，连接cg，fg，由于cbcd，因此cgbd.又fc平面abcd，bd平面abcd，所以fcbd.由于fccgc，fc，cg平面fcg，所以bd平面fcg.故bdfg.所以fgc为二面角fbdc的平面角在等腰三角形bcd中，由于bcd120，因此cgcb.又cbcf，所以gfcg.故cosfgc.因此二面角fbdc的余弦值为.13正三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为2，p是侧棱aa1上任意一点(1)求正三棱柱abca1b1c1的体积；(2)判断直线b1p与平面acc1a1是否垂直，请证明你的结论；(3)当bc1b1p时，求二面角cb1pc1的余弦值解析(1)vabca1b1c1sabcaa12222.(2)不垂直建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，设apa，则a，c，b1，p的坐标分别为(0，1,0)，(0,1,0)，(，0,2)，(0，1，a)(0,2,0)，(，1，a2)，20，b