两直线的位置关系.doc

两直线的位置关系已知点M(2,2),N(,5,-2),点P在轴上,分别求满足下列条件的P点坐标:(O是坐标原点);(2)是直角.已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程已知的一个定点是，、的平分线分别是，求直线的方程求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程已知实数，满足，求证：直线，求关于直线对称的直线的方程已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点坐标；(2)直线关于直线对称的直线的方程；(3)直线关于点的对称直线方程已知直线和两点、(1)在上求一点，使最小；(2)在上求一点，使最大已知点，和直线，求一点使，且点到的距离等于2在平面直角坐标系中，矩形OABC，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为如果点(5，a)在两条平行直线6x8y10和3x4y50之间，则整数a的值如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：yx反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C的方程若动点A（x1,y1），B（x2,y2）分别在直线l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为若一直线被直线和截得的线段的中点恰好在坐标原点，则这条直线的方程为 。直线经过两条直线：和的交点，且分这两条直线与轴围成的面积为两部分，求直线一般式方程。在ABC中，BC边上的高所在直线方程为：x2y+1=0，A的平分线所在直线方程为：y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和C的坐标.已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程是：3xy+2=0，直角顶点C（）,求两条直角边所在的直线方程和此三角形面积.题型二：直线方程的求法例4、一直线过点且夹在两坐标轴的有向线段被点内分为，求这条直线的方程。过点作直线交轴，轴的正向于、，两点，求的最小时的直线方程（变式：当面积最小时的直线方程）一直线被两直线截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程。已知等腰直角三角形斜过所在直线方程为，直角顶点坐标是（3，4），求两直角过所在直线的方程。求经过点且被两条平行线和截得的线段长为的直线方程。已知点过作一条直线，使它包含在两已知直线和间的线段被点平分，求这条直线方程。已知点和直线（1）求点关于直线的对称点（2）若一束光线由点射到上，反射后经过点，求入射光线和反射光线的方程。例5、已知，则直线一定不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A、（0，1） B、 C、 D、以上都不对题型三：直线系方程例6、已知直线，求平行直线，且与轴，轴相交在第一象限所成三角形面积为24的直线线方程。直线经过的交点，与两点的距离相等，求直线的方程。已知直线，求证：不论为何实数直线经过定点。已知直线求经过、的交点且与已知直线平行的直线的方程。已知两直线，相交于点，求过且垂直于直线的直线方程。小结归纳：1、过定点的直线系 恒过点过定点的直线系2、斜率为定值的直线系 斜率为若已知直线与平行的直线系为若已知直线与垂直的直线系为3、经过两条直线交点的在象限 过交点的直线系方程：题型四：直线恒过定点问题例7、不论为何实数，直线恒过定点 。直线在轴上截距的倒数和为常数，则直线过定点 。题型五：直线的对称问题1、直线关于点的对称直线问题2、点关于直线的对称点问题关于轴的对称点为 ；关于轴的对称点为 ；关于直线=轴的对称点为 ；关于直线=-轴的对称点为 ；关于直线轴的对称点为 ；关于直线=轴的对称点为 ；关于直线的对称点的求法，令则3、直线关于直线的对称直线问题关于轴，轴，对称直线。直线关于直线的对称直线的求法例8、求点关于直线的对称点B的坐标。例9、求直线关于（1，0）对称的直线的方程。例10、求直线关于直线的对称直线的方程。例11、已知点与点，试在轴上求一点；使得的值最小。 变式题：求函数的最小值。以点为顶点，在轴上找一点，另在直线上找一点C构成，使其周长最小，并求出这个最小值。 直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用，本文将直线系在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考. 一、平行直线系方程在解题中的应用 与直线：（A,B不同时为0）平行的直线系方程为：（）. 例1已知直线：，直线：被，截得的线段长为，求直线的方程. 分析：本题是已知两直线平行和其中一条直线方程求直线方程问题，可用平行直线系求解.解析：设：（），直线到直线所处的角为，直线、间的距离为，由题知，=1，=，由到角公式得，=，=，=，由平行线间距离公式得，=，解得=2或=4，直线方程为：或.点评：对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.本题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式，再利用点到直线的距离公式列出关系式求解.二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：.例2已知直线是曲线的一条切线且与直线垂直，求直线的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设：，由消去得，由与曲线相切得，=0，解得=0，：.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）.例 3 求过点圆的切线的方程分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为（其中不全为零），则整理有，直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或点评：对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）.例4 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.五、求直线系方程过定点问题例5 证明：直线(是参数且R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:,R, ，解得，直线(是参数且R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取=0，=1得，联立解得，将（1,1）代入检验满足方程，直线(是参数且R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.直线系方程及其巧妙应用1命题的给出命题：设点在直线（其中不全为零）上，则这条直线的方程可以写成这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象2命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性例过点作圆的切线l，求切线l的方程解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），则整理有，直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或（2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的倍（）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性例2求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程解：设所求直线方程为（其中不全为零）显然，当或时，所得直线方程不满足题意故均不为零当时，；当时，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，令，则，整理，得， 解得，或，则，或，故所求直线方程为，或编者的话：利用过点的直线系方程（其中不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性下面我们用这个方法来做两道相关的题目练习：1求过原点且与直线成30角的直线方程l2在过点的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程答案：1，或2 直线系问题一、过定点的直线系设定点P(x0,y0)1、用斜率k作参数的直线系方程y-y0=k(x-x0)(不包括无斜率的直线)2、用A、B作参数的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B不全为0) 例：求经过P(1,2)的直线L,使点A(3,3)和B(5,2)到它的距离相等.思路一:设斜率k,用点斜式,再由点距公式列方程,求k出即可.思路二:分类讨论设斜率k,用点斜式,当LAB时,由斜率相等可得k;当L过AB的中点时,把AB中点坐标代入L方程,可解得k.二、平行线系1、斜率是k的直线系方程y=kx+b (b为参数)2、平行于Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+=0 (为参数)3、垂直于Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+=0 (为参数)三、过两直线交点的直线系设L1: A1x+B1y+C1=0L2: A2x+B2y+C2=0m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m、n是参数)A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(是参数但不包括L2)例：已知3a+2b=1,求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标.思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a)代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x y-1)+a(x -y)=0由, 得交点(1, )直线过定点(1, ).思路二：赋值法令a=0得b= 得L1: 2x - y-1=0令b=0得a= 得L2: x y=0由, 得交点(1, )把交点坐标代入原直线方程左边得:左边=(3a+2b-1)3a+2b-1=0左边=0这说明只要3a+2b-1=0原直线过定点(1, ).例:求证:无论为何值,直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0与点P(-2,2)的距离d都小于4.证明：将直线方程按参数整理得(2x-y-6)+(x-y-4)=0故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M易解得M(2,-2)求得|PM|=4所以d4而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0,又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0d4【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例、 （1）证明直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程； （3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。 分析：（1）证直线系过定点，可用分离参数法。 （2）求AOB面积S的最小值，应先求出目标函数Sf(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。 （3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）直线l的方程是： 无论k取何值，直线总经过定点（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。例、已知P（1，3），直线l：x4y10（1）求过P且平行于l的直线l1的方程；（2）求过P且垂直于l的直线l2的方程策略：由l1l的斜率关系可得，由l2l的斜率关系得4，再利用点斜式方程可求出直线l1，l2的方程由平行直线系与垂直直线系可以求出l1，l2的方程解法一：（1）直线l的斜率为且l1l，直线l1的斜率k1又l1过P（1，3），l1的方程为y3(x1)，即x4y110(2)kl且l2l，直线l2的斜率为k24又l2过P(1，3)l2的方程为y34(x1)即4xy70解法二：（1）l1l且l方程为x4y10设l1的方程为x4yC0又P(1，3)在l1上143C0解得C11l1的方程为x4y110(2)l2l设l2的方程为4xyC0又l2过P（1，3）413C0解得C7l2的方程为4xy70评注：一般地，利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便例、求证：不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点，并求出此定点坐标策略：对于这类题目，只要找出两条相交的直线，然后解出交点坐标即可证法一：（特殊值法）当m1时，直线l的方程为y4；当m时，直线l的方程为x9；两直线的交点为（9，4），满足直线l的方程(m1)x(2m1)ym5不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点（9，4）证法二：（直线系法）将方程(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程组得不论m为何实数，定点(9，4)恒满足方程(m1)x(2m1)ym5即不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点（9，4）评注：求某直线过定点的题目，常用的两种方法特殊值法和直线系法例、求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程策略：可以先解方程组求出交点P，再利用ll3求出斜率，用点斜式求l方程；求出P点后，用垂直直线系求l方程；先由过l1，l2的交点的直线系设出l方程，然后由l3l求系数解法一：解方程组得交点P（0，2）k3kl由点斜式得l：y2x即4x3y60解法二：设所求直线l：4x3yC0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C6l：4x3y60解法三：设所求直线l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程为：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60评注：解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算利用直线系解题一、直线系的定义1、 共点直线系方程经过两直线的交点的直线系方程为2、 平行直线系方程与直线3、 垂直直线系方程与直线二、利用直线系解题例