高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时等差数列前n项和的性质与应用 等差数列前n项和的性质 1 设等差数列 an sn为其前n项和 那么sk s2k sk s3k s2k 仍构成等差数列 且公差为k2d 2 设等差数列 an 若项数为2n n n 则s2n n an an 1 an an 1为中间两项 且s偶 s奇 nd 若项数为2n 1 n n 则s2n 1 2n 1 an an为中间项 且s奇 s偶 an s偶 s奇 n 1 n 3 设 an bn 均为等差数列 an为数列 an 的前n项和 bn为数列 bn 的前n项和 则 4 设sn为等差数列 an 的前n项和 则仍为等差数列 且公差为 4 设sn为等差数列 an 的前n项和 则仍为等差数列 且公差为 探究一 探究二 探究三 探究一等差数列前n项和的性质应用在等差数列的有关计算问题中 合理地运用等差数列及其前n项和的性质 可以简化计算 优化解题过程 探究一 探究二 探究三 典型例题1 1 已知某等差数列共有10项 其奇数项之和为15 偶数项之和为30 则其公差为 a 5b 4c 3d 2 2 一个等差数列的前12项和为354 前12项中偶数项和与奇数项和之比为32 27 则公差d 3 在项数为2n 1的等差数列中 所有奇数项的和为165 所有偶数项的和为150 则n的值为 思路分析 1 2 利用项数为2n的等差数列中 s偶 s奇 nd的性质求解或转化为用基本量a1 d求解 3 利用项数为2n 1的等差数列的性质求解 探究一 探究二 探究三 解析 1 由题意得s偶 s奇 30 15 5d 故d 3 s偶 s奇 6d d 5 3 等差数列有2n 1项 s奇 s偶 a中 a中 15 又s2n 1 2n 1 a中 165 150 2n 1 15 n 10 答案 1 c 2 5 3 10方法总结关于奇数项和与偶数项和的问题 用等差数列的性质求解 能简化计算 探究一 探究二 探究三 典型例题2一个等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 求其前110项之和 思路分析 用等差数列中的 sk s2k sk s3k s2k 成等差数列 求解 解 易得数列s10 s20 s10 s30 s20 s100 s90 s110 s100成等差数列 设其公差为d 则前10项的和为10s10 d s100 10 解得d 22 s110 s100 s10 11 1 d 100 10 22 120 s110 120 s100 110 探究一 探究二 探究三 变式训练1 等差数列 an 前n项的和为30 前2n项的和为100 则它的前3n项的和为 a 130b 170c 210d 260解析 数列 an 为等差数列 sn s2n sn s3n s2n成等差数列 sn s3n s2n 2 s2n sn 30 s3n 100 2 100 30 解得s3n 210 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究二求数列 an 的前n项和已知等差数列 an 求 an 的前n项和的步骤 1 确定通项公式an 2 根据通项公式确定数列 an 中项的符号 即判断数列 an 是先负后正 还是先正后负 3 去掉数列 an 中各项的绝对值 转化为 an 的前n项和求解 转化过程中有时需添加一部分项 以直接利用数列 an 的前n项和公式 4 将 an 的前n项和写成分段函数的形式 探究一 探究二 探究三 典型例题3已知数列 an 的前n项和 求数列 an 的前n项和tn 思路分析 先求出通项an 再确定出数列中项的正负 再利用sn求解 当n 2时 an sn sn 1 3n 104 n 1也适合上式 数列 an 的通项公式为an 3n 104 n n 即当n 34时 an 0 当n 35时 an 0 探究一 探究二 探究三 1 当n 34时 tn a1 a2 an a1 a2 an sn 2 当n 35时 tn a1 a2 a34 a35 an a1 a2 a34 a35 a36 an 2 a1 a2 a34 a1 a2 an 2s34 sn 探究一 探究二 探究三 变式训练2 已知数列 an 的通项公式是an 4n 25 求数列 an 的前n项和 解 an 4n 25 an 1 4 n 1 25 an 1 an 4 a1 4 1 25 21 数列 an 是以 21为首项 公差为4的等差数列 数列 an 中前6项均小于0 从第7项起均大于0 探究一 探究二 探究三 当n 7时 a1 a2 an a1 a2 a6 a7 a8 an a1 a2 an 2 a1 a2 a6 sn 2s6 2n2 23n 132 探究一 探究二 探究三 当n 6时 a1 a2 an a1 a2 an sn 2n2 23n 探究一 探究二 探究三 探究三易错辨析易错点把握不准性质致错典型例题4已知两个等差数列 an bn 它们的前n项和分别记为sn tn 探究一 探究二 探究三 12345 1 等差数列 an 的前n项和为sn 若s2 2 s4 10 则s6等于 a 12b 18c 24d 42解析 易知s2 s4 s2 s6 s4成等差数列 即2 8 s6 10成等差数列 s6 24 答案 c 12345 2 一个等差数列共有10项 其偶数项之和是15 奇数项之和是12 5 则它的首项与公差分别是 a 0 5 0 5b 0 5 1c 0 5 2d 1 0 5解析 s偶 s奇 5d 15 12 5 2 5 d 0 5 答案 a 12345 12345 4 在等差数列 an 中 a3 a9 a15 21 则s17 解析 a3 a9 a15 21 a9 7 s17 17a9 17 7 119 答案 119 5 已知an 2n 16 求数列 an 的前n项和 解 由an 0 得n 8 当n 8时 an 0