【导与练】高考数学 试题汇编 第三节 不等式选讲(选修45).doc

第三节不等式选讲(选修45) 绝对值不等式考向聚焦绝对值不等式的解法和性质运用是高考考查的一个重点.以绝对值不等式为载体,求参数的取值范围也是常见的考查题型,如恒成立问题、存在性问题等.多以填空题和解答题的形式出现,中等难度,分值510分备考指津含有绝对值不等式的问题主要包括两类:一类是解不等式,另一类是以绝对值不等式为载体求参数的取值范围,解答这两类问题的关键是去掉绝对值符号.(1)依据绝对值的意义;(2)先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值1.(2012年陕西卷,文15a,5分)若存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是.解析:由题意知左边的最小值小于或等于3,根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|3,|a-1|3,-2a4.答案:-2a42.(2011年陕西卷,文15)若不等式|x+1|+|x-2|a对任意xr恒成立,则a的取值范围是.解析:法一:由题意,只需求|x+1|+|x-2|的最小值,由绝对值的几何意义知,此式表示数轴上的点p到-1,2两点的距离之和,当点p位于-1,2对应两点之间的距离之和最小值为3,a3.法二:|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|x+1+2-x|=3,|x+1|+|x-2|的最小值为3.当且仅当-1x2时取最小值,若|x+1|+|x-2|a对任意xr恒成立,则a3.答案:(-,33.(2011年江西卷,文15)对于xr,不等式|x+10|-|x-2|8的解集为.解析:法一:当x2时,原不等式等价于x+10-x+28,即128,x2由得x0.法二:由绝对值的几何意义知|x+10|-|x-2|表示数轴上到-10与到2两点距离差,则当|x+10|-|x-2|8时,则x0.答案:0,+)4.(2010年陕西卷,文15a)不等式|2x-1|3的解集为.解析:由|2x-1|3得-32x-13,-1x2.答案:x|-1x25.(2012年新课标全国卷,文24,10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.解:(1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x21,2x32x-5,x3当x2时,由f(x)3得-2x+53,解得x1;当2x0时,-4ax2a,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(x2),则h(x)=1,x-1,-4x-3,-1x-12,-1,x-12.所以|h(x)|1,因此k1.7.(2012年浙江自选模块,03,10分)已知ar,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4的解集为a.(1)若a=1,求a;(2)若a=r,求a的取值范围.解:(1)当x-3时,原不等式化为-3x-22x+4,得x-3.当-3x12时,原不等式化为4-x2x+4,得-312时,原不等式化为3x+22x+4,得x2.综上,a=x|x0或x2.(2)当x-2时,|2x-a|+|x+3|02x+4成立.当x-2时,|2x-a|+x+3=|2x-a|+|x+3|2x+4.得xa+1或xa-13,所以a+1-2或a+1a-13,得a-2综上,a的取值范围为a-2.8.(2011年全国新课标卷,文24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)3x+2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)3x+2可化为|x-1|2.由此可得x3或x-1,故不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1.(2)由f(x)0得|x-a|+3x0,此不等式化为不等式组xax-a+3x0或xaa-x+3x0即xaxa4或x0,所以不等式组的解集为x|x-a2.由题设可得-a2=-1,故a=2.9.(2011年辽宁卷,文24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3f(x)3;(2)求不等式f(x)x2-8x+15的解集.(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=-3,x2,2x-7,2x5,3,x5.当2x5时,-32x-73.所以-3f(x)3.(2)解:由(1)可知,当x2时,f(x)x2-8x+15的解集为空集;当2x5时,f(x)x2-8x+15的解集为x|5-3x5;当x5时,f(x)x2-8x+15的解集为x|5x6.综上,不等式f(x)x2-8x+15的解集为x|5-3x6.10.(2010年全国新课标卷,文24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)ax的解集非空,求a的取值范围.解:(1)由于f(x)=-2x+5,x2,2x-3,x2.则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,(l1,l2,l3,l4都代表y=ax的图象),l1与y=f(x)相交于点a,由l1转到l2时有交点,a12.同理当l1转到l3时也有交点,当转到l4即斜率为-2时,此时l4与y=-2x+5平行无交点,a-2.故不等式f(x)ax的解集非空时,a的取值范围为(-,-2)12,+). 本题主要考查分段函数画图和利用数形结合找出a的取值范围.不等式的证明考向聚焦高考中主要考查利用基本不等式证明不等式问题(有时也是利用基本不等式求最值问题)对于不等式的证明,一般用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式,能够利用基本不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值以及对一些不等式问题的证明等,为中档题,主要为解答题,分值10分左右备考指津(1)利用基本不等式证明条件不等式,关键是恰当地利用条件,构造基本不等式所需要的形式;利用基本不等式求最值时,还一定要注意“一正二定三相等”.(2)如果已知条件与待证结论之间的联系不明显,可考虑使用分析法.(3)如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出,可考虑使用反证法.用反证法证明命题时,推导出的矛盾多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实相违背等.(4)放缩法的依据是不等式的传递性,运用放缩法证明不等式时,要放缩适度,放得过大或过小都不能达到证明目的,常用方法:一是舍去或添加一些已知正负的项;二是将分子或分母放大或缩小.(5)利用柯西不等式证明不等式的关键是正确构造左边的数组,从而利用题目的条件正确求解11.(2011年浙江卷自选模拟,03)设正数x,y,z满足2x+2y+z=1.(1)求3xy+yz+zx的最大值;(2)证明:31+xy+11+yz+11+zx12526.(1)解:原式=3xy+(x+y)z=3xy+1-2(x+y)(x+y)=3xy+(x+y)-2(x+y)234(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=-54(x+y)2+(x+y)=-54(x+y)2-45(x+y)=-54(x+y-25)2-425=-54(x+y-25)2+1515.当且仅当x=y=z=15时,等号成立,3xy+yz+zx的最大值为15.(2)证明:法一:由柯西不等式和(1)得93(1+xy)+11+yz+11+zx3(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)93(1+xy)3(1+xy)+11+yz1+yz+11+zx1+zx2=(3+1+1)2=25.31+xy+11+yz+11+zx253(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)255+15=12526.法二:由基本不等式得31+xy+11+yz+11+zx5511+xy11+xy11+xy11+yz11+zx5513(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)55=253(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)255+15=12526.12.(2010年江苏卷,21d)设a,b是非负实数,求证a3+b3ab(a2+b2).证明:a3+b3-ab(a2+b2)=(a3-a2ab)+(b3-b2ab)=a2a(a-b)-b2b(a-b)=(a-b)(a5-b5).当ab时,ab且a5b5,当ab时,ab且 a5b5,a3+b3-ab(a2+b2)0,a3+b3ab(a2+b2). 证明不等式,常用方法是作差比较法.13.(2010年辽宁卷,文24)已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)263,并确定a,b,c为何值时,等号成立.证明:法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2+c23(abc)23,1a+1b+1c3(abc)-13,所以(1a+1b+1c)29(abc)-23.故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)23(abc)23+9(abc)-23.又3(abc)23+9(abc)-23227=63,当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当3(abc)23=9(abc)-23时,式等号成立.即当且仅当a=b=c=314时,原式等号成立.所以原不等式成立.法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b22ab,