递推数列的常见解法.doc

递推数列的常见解法王兆堂（河南省永城市高级中学 河南 商丘 476600 ）【摘要】递推数列的有关知识在高中数学学习阶段是一重要的知识点，故本文介绍了阶差法、迭代法等递推数列的常见解法，在运用该二法求递推数列的通项公式时，经常需要观察结构、换元化归，达到目的。【关键词】递推数列 阶差法 迭代法在中学阶段递推数列是重要的知识点，下面就介绍递推数列的常见解法。我们把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推式，把由递推关系与初始条件给出的数列叫做递推数列。分类如下：由两个连续项之间的关系 和初始项所确定的数列，叫做一阶递推数列; 由三个连续项之间的关系 和初始项所确定的数列，叫做二阶递推数列;以由k+1个连续项之间的关系和k个初始项所确定的数列，叫做k阶递推数列。求递推数列常用方法有：（1） 阶差法 对于数列因为若记则有，如果是等差（或等比）数列，那么数列的通项公式容易求得。如果还不容易求得，那么可再作的阶差数列，只要阶差数列的前n项和可直接求出，数列的通项可求得。（2） 迭代法若数列的递推关系形如则重复使递推公式进行迭代可得若数列的递推关系可变为的形式，并已知（,b为常数），则可对通过有限次迭代到为止，可得在运用阶差法、迭代法等方法求递推数列的通项公式时，经常需要观察结构、换元化归，达到目的。例1 已知数列中，求解: 即注 裂项法求和是数列求和的基本方法之一，关键是把握通项的结构与裂项的技巧。例2若数列满足，且，求解：由题意可得记，则上式化为，从而 即两边同除以，得所以则注 分析结构、变换形式是运用阶差法的基础，换元化归是解决此类问题的重要手段。例3 已知数列中，且（1）求；（2）求数列的前n项和解：（1）当时，由可得；两式相减得，即，所以即当时，由 可得对也适合。（2）由可得所以 注： 在（1）中的解法若注意到可变为，即有，即；本题的递推公式为与的关系式。(或)，这种类型解法：一般利用与消去 或与消去进行求解。例4 已知数列中，且求解:因为所以所以从而即注: 将递推式转化为，则不难从结构特征上发现如下结果：；从而可知是一个等比数列，使问题简单化。此类型题目可总结如下：递推公式为（其中p，q均为常数），有两中解法。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例5 已知数列中，且求解:因为所以； 两式相除，得经反复迭代可得 所以注：本题解法是通过对递推式的变形，构造出一新的递推数列，好像很难想到，实际上是所给数列的递推函数的两个不动点，即f(x)=x的两根。例6已知数列，满足， ，且对一切n成立，试求解：由题意可得，对任意的，有两式相减得 也就是因为所以即是以4为周期的数列，有在一个周期内各项值的和为，故注 从本题中的递推关系不易求出通项公式，但观察若干项的值：，可以猜想它是以4为周期的数列，从而关键是证明即可。 对这一类数列进一步思考，可以带到以下结论：数列满足，则m+1是它的一个周期。（证明过程如本题解法，故略）参考文献：1 贾国新,浅析高中数学数列的教学,数学学习2008.0