(数学三)微积分性质公式整理.doc

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除微积分第一章 函数、连续、极限一、函数：1.函数的性态：有界性区间内连续函数必有界，反之不然。 同区间内导数有界则原函数有界。 区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界（下届）。 方法：定义、结合极限、连续与导数来确定。单调性单调函数一定有反函数且单调性相同。 单调函数的复合函数仍然是单调函数。 单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。 方法：利用导数符号分析。周期性f(x+T)=f(x) 以T为周期的可导函数，其导数以T为周期，但原函数不一定为周期函数。 以T为周期的连续函数： aa+Tfxdx=0Tf(x)dx=-T/2T/2fxdx 0nTfxdx=n0Tf(x)dx 方法：定义，利用常见函数判断（三角函数）。奇偶性前提：定义域关于原点对称。 奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇偶=奇，偶偶=偶奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。求导后变换奇偶性。f(x)为偶 f(x)为奇，f(x)为奇f(x)为偶。若f(x)定义域关于原点对称，则：f(x)=f(x)-f(-x)+ f(x)+f(-x) 式中前者为奇，后者为偶。方法：定义2.相关：反函数单调函数一定有反函数，反函数与直接函数单调性相同，图像关于y=x对称求定义域分式中分母不为0，根式中负数不能开偶次方根，对数中底数大于0不等于1，真数大于0，arcsinx与arccosx中-1x1tanx，secx中xk+ ，cosx与cscx中xk求表达式换元法，分段函数分段求。二、极限1.数列的极限：定义给定数列Xn及常数a，若对于任意给定的正数0，总存在正整数N，使得当nN时，有|Xna|恒成立，则称常数a为数列Xn的极限，或者称数列Xn收敛于a，极为limnXn=a。性质唯一性：数列收敛则极限唯一。有界性：收敛数列一定有界。 保号性：如果limnXn=a，且a0（或a0），那么存在正整数N，当nN时，都有Xn0（或Xn0）。如果limnXn=a，limnYn=b，且ab，那么存在正整数N，当nN时，都有XnYn。 如果数列收敛于a，那么此数列的任意子数列都收敛于a。求法利用通向表达式转化为函数进行计算，若limxf(x)=A，则limnf(n)=A。 若数列通项是n项和或积时，可利用积分定义，设f(x)在a,b上连续，则： limnk=1nfa+b-ankb-an=abf(x)dx limn1nk=1nf(kn)=01f(x)dx2.函数的极限：定义性质唯一性：有极限则极限唯一。局部有界性：XX0时f(x)A，则f(x)在X0的某去心邻域内有界。局部保号性：XX0时f(x)A，A0（或A0），则在x0的某去心邻域内f(x0（或f(x)0）。反之亦然。 求法化简：无穷小量等量代换，分子分母同时除以最高次的项，根式有理化 洛必达法则 导数的定义 利用两个重要极限变形 幂指函数极限 limf(x)g(x)： limf(x)g(x)=limegxlnf(x)=elimgxlnf(x) 变量代换：题设x时，设t=1x 往往可以简化计算 带皮亚诺余项的泰勒公式展开： ex=1+x22!+x33!+o(x3)； ln1+x=x-12x2+13x3+o(x3) sinx=x-13!x3+15!x5+o(x5)； cosx=1-12!x2+14!x4+o(x4) 11-x=1+x+x2+x3+o(x3)； (1+x)=1+x+(-1)2!x2+-1(-2)3!x3+o(x3) 利用左右极限求极限：分段函数：绝对值函数，取整函数x，最大最小，符号函数sgn(x)，且求分段点的极限时，要从左右极限入手当极限式中包含limxarctanx，limxarccotx，limxax时，要从x-，x+入手含参变量的极限应考虑参变量的范围求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等： limfxg(x)=A，limfx=limg(x)=0 limfxgx=A，limgx=0limf(x)=03.无穷小量与无穷大量性质limfx=Afx=A+(x)，其中(x)是此极限过程下的无穷小量。 有限个无穷小量的和、积均为无穷小量 无穷小量有界量仍为无穷小量。比较同一变化中，(x)0，则对于lim(x)(x) 若为0，则称(x)是x的高阶无穷小，记作(x)o(x) 若为，则称(x)是x的低阶无穷小。 若为1，则等价。若为常数C，则同阶。若lim(x)(x)k=C，则则称(x)是x的k阶无穷小等价无穷小 ex-1x ax-axlna (1+x)m-1mx 1-cosx12x2 x-sinx16x3 x-ln(1+x)12x2 乘除因子项可直接替换等价无穷小，加减项不可。无穷大量当n时，按照趋向无穷的速度越来越大排列的函数：lnn，naa0，ana0，n!，nn4.极限的运算四则运算若limfx=A，limgx=B，则： limfxg(x)=AB & limfxg(x)=AB limfxgx=AB(B0) & limf(x)g(x)=AB(A0)若limf存在但limg不存在，则limfg和limfg可能存在也可能不存在。重要结果 limx(x)1x=1； limx0+(x)1x=0； limx0+xx=1； limnna=1，a1； limnnn=1 limfxg(x)=A，limfx=limg(x)=0 limfxgx=A，limgx=0limf(x)=05.两个重要极限： limx0sinxx=1 limx0(1+x)1x=e或limx(1+1x)x=e设(x)0，则 limsin(x)(x)=1。 设f(x)A，g(x)，则 limf(x)g(x)=lim1+(fx-1)1fx-1fx-1g(x)=elimfx-1g(x) （1式） 或limf(x)g(x)=limegxlnfx=elimgxlnf(x)=elimgxfx-16.极限存在准则：单调有界准则单调不增或不减，且有上界或下界的数列Xn必有极限。夹逼准则如果数列XnYnZn满足YnXnZn（n=1，2）； limnYn=a，limnZn=a，则limnXn存在且等于a函数的极限存在准则类似。7.洛必达法则：定义注意只有00，的未定式才可使用。 尽量结合等价无穷小替换、变量替换简化运算。 非零因子项（乘或除项）的极限用四则运算法则先求出后再使用洛必达法则。三、函数的连续与间断1.连续的定义x0点处x0的某邻域，若limxx0f(x)=f(x0)，则f(x)在点x0处连续。左连续与右连续。开区间连续对于任意x0(a,b)，f(x)在x0连续，则称f(x)在(a,b)内连续闭区间上连续f(x)在(a,b)连续，且 limxa+f(x)=fa，limxb-f(x)=f(b)半开半闭区间上连续应用判断抽象函数的连续性2.连续的条件同时满足f(x)在x0点有定义，limxx0f(x)存在，且limxx0f(x)=f(x0)f(x)在x0点连续f(x)在x0点既左连续，又右连续。3.间断点定义不满足连续三个条件的点分类第一类间断点第二类间断点可去间断点：左右极限存在且相等左右极限至少有一个不存在的点，分为无穷间断点、震荡间断点等。跳跃间断点：左右极限存在但不想等 判断求出可能间断点的左右极限4.连续函数的性质：基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其有定义的区间内连续。连续函数的和差积商以及复合仍为连续函数。f(x)在a,b内连续，则axftdt(axb)，在a,b上可导，对axftdt在a,b上可应用最值、介值、零点定理。设f(x)在x0处连续，若limxx0f(x)x-x0=A，则f(x0)=0，且f(x0)=A连续函数在闭区间上的性质证明题构造F(x)后使用 有界性与最大最小值定理：闭区间内连续函数一定有界且一定能取到最大最小值。 介值定理：在a,b内f(a)=A，f(b)=B，CA,B，则(a,b)内至少有一点使得f()=C 闭区间上的连续函数可以取到其区间上的任意有限个函数值的平均值。 零点定理：f(x)在a,b内连续且f(a)f(b)0，则(a,b)内至少有一点使得f()=0第二章 一元函数微分一、导数与微分1.导数的概念定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，并设x0xU(x0)。若极限limx0fx0+x-f(x0)x 存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f(x0)，即f(x0)=limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x 。也可记作y=|x=x0，dydx|x=x0或df(x)dx|x=x0。左导数与右导数limx0-fx0+x-f(x0)x 或 limx0+fx0+x-f(x0)x导数与极限的联系 f(x0)= limxx0fx-f(x0)x-x0 若f(x0)存在，limxx0g(x)=limxx0h(x)=x0，则（在下列极限存在时） limxx0fg(x)-f(x0)g(x)-x0=f x0，(g(x)x0) limxx0fg(x)-f(x0)x-x0=f x0limxx0g(x)-x0x-x0，设limxx0g(x)-x0x-x0存在。 limxx0fg(x)-fh(x)x-x0=f x0limxx0g(x)-h(x)x-x0，设limxx0g(x)-h(x)x-x0存在。 设f(x)在x0处连续，则 limxx0fxx-x0=Afx0=0，f x0=A limxx0fx(x-x0)k=Ak1fx0=0，f x0=0 limxx0fx(x-x0)k=A00kmn!，n=mmm-1m-2m-n+1xm-n，n0，fx0极小f2n(x0)0，fx0极大f2n+1x00，x0，fx0是拐点 2.函数的凹凸性和拐点凹凸性凹弧：fx1+x22fx1+f(x2)2 f(x)0拐点凹弧与凸弧的分界点。拐点处f(x)=0或f(x)不存在 求法：f(x)在x0两侧邻近符号相反，增减性改变，f(x0)=0且f(x0)0的点。3.曲线的渐近线水平渐近线limxf(x)=C，则y=C为y=f(x)的水平渐近线铅直渐近线limxx0f(x)=，则x=x0为y=f(x)的铅直渐近线斜渐近线limxf(x)x=a0，limxfx-ax=b，则y=ax+b为曲线的斜渐近线4.导数的经济应用边际求导弹性三、中值定理及不等式的证明1.微分中值定理费马定理设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，并在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），那么f(x0)=0。罗尔定理如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(ab)，使得f()=0。拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点(ab)，使得f(a)-f(b)= f()(b-a)。 拉格朗日中值定理等价表达：存在（01），使得f(a)-f(b)= fa+(b-a)(b-a)柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，且对任意x(a,b)，F(x)0，那么在(a,b)内至少有一点，使得fb-f(a)Fb-F(a)=f ()F()泰勒中值定理f(x)=fnx0n!(x-x0)n+fn+1(n+1)!(x-x0)n+12.证明 P55-68第三章 一元函数积分学一、不定积分1.不定积分的概念f(x)的原函数为F(x)+C对于区间a,b上任一连续函数f(x)，有原函数fxdx=axf(t)dt+C2.关于原函数的结论若f(x)在a,b上不连续，则F(x)= axf(t)dt即使存在，甚至可导，也不一定是f(x)在a,b上的原函数。若f(x)在a,b上有第一类间断点，由于导函数没有第一类间断点可知f(x)一定没有原函数，即在a,b上不定积分fxdx不存在。f(x)为奇函数 f(x)的任意原函数F(x)为偶函数f(x)为偶函数f (x)的原函数中只有一个为奇函数，即0xf(t)dt。f(x)的任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数f(x)是以T为周期的周期函数且0Tf(x)dx=0f(x)的任意原函数是以T为周期的周期函数。3.基本性质 f xdx=fx+C 或 dfx=fx+C ddxfxdx=f(x) 或 dfxdx=f(x)dx4.积分公式 dxx=ln|x|+C axdx=axlna+C secxdx=lnsecx+tanx+C cscxdx=lncscx-cotx+C 1a2+x2dx=1aarctanxa+C (a0) 1a2-x2dx=arcsinxa+C (a0) 1x2-a2dx=12alnx-ax+a+C (a0) 1a2-x2dx=12alna+xa-x+C (a0) 1x2-a2dx=lnx+x2-a2+C (a0) 1x2+a2dx=lnx+x2+a2+C (a0) a2-x2dx=x2a2-x2+a22arcsinxa+C (a0) x2a2dx=x2x2a2+a22lnx+x2a2+C常用的变量代换 三角带换：a2-x2，可令x=asint，t(-2,2) a2+x2，可令x=atant，t(-2,2) -a2+x2，可令x=asect，t0,2(,32) 根式代换：nax+b 或nax+bcx+d，直接令此根式为t 包含kax+b，lax+b 时，令此根式为t=nax+b（n为各根指数的最小公倍数） 倒代换：当被积函数分母的最高次幂高于分子的最高次幂时，可考虑令x=1t5.第一换元法（凑微分法）6.第二换元法7.分段函数的积分根据不同区间上的函数表达式分段分别积分，再利用原函数在分段点的连续性（可导一定连续），粘合起来，即将各段上的任意常数Ci统一成一个任意常数C。二、定积分1.存在条件必要条件abf(x)dx存在的必要条件是f(x)在a,b上有界。充分条件abf(x)dx存在的充分条件是f(x)在a,b上连续，或仅有有限个间断点且有界。2.几何意义若f(x)0，定积分abf(x)dx (ab)表示曲线y=f(x)，两条直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。一般地，定积分abf(x)dx表示曲线y=f(x)，两条直线x=a，x=b所围图形面积的代数和（x轴方面积为正，下方面积为负）3.定积分性质线性性可加性不等式 若f(x) 0，xa,b，则abf(x)dx0；若f(x)不恒为零，则abf(x)dx0 若f(x) g(x)，xa,b，ab，则abf(x)dxabg(x)dx，不可反推 若a1+，p1，特别地1+dxxp=1p-1，p1+，p1 若a1，则a+dxxlnpx=ln1-pap-1，p1+， p1，特别地e+dxxlnpx=1p-1，p1+， p1 0+xe-kxdx=1k2，k0+，k0 ，一般地0+xne-kxdx，k0收敛，k0发散。 abdx(x-a)q=(b-a)1-qq-1，q1+， q1四、定积分的几何应用微元法的应用1.面积直角坐标系由曲线y=f(x)，y=g(x) f(x)g(x)，直线x=a，x=b所围图形的面积为 S=abgx-fxdx. 由曲线x=u(y)，x=v(y) u(y)v(y)，直线y=c，y=d所围图形的面积为 S=cdvy-uydy.极坐标系由曲线r=r()，及射线=，=所谓围平面图形的面积为 S=12r2()d. 由曲线r=r1()，r=r2() r1()r2()及射线所围图形的面积为 S=12r22-r12d.2.体积由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b所围成的曲边梯形 绕x轴旋转一周所得旋转体 Vx=abf2(x)dx (ab) 绕y轴旋转一周所得旋转体 Vy=2abx f(x)dx (f(x)0，0ab)由连续曲线x=u(y)，直线y=c，y=d所围成的平面图形 绕y轴旋转一周所得旋转体 Vy=cdu2ydy c0，0，当点Px,y满足 0(x-x0)2+(y-y0)2且Px,yD时，有fx,y-A0时，(x0,y0)不是极值点； B2-AC0时，(x0,y0)是极值点，且当A0时，(x0,y0)是极大值点，A0时，(x0,y0)是极小值点； B2-AC=0时，(x0,y0)不确定是否为极值点。条件极值拉格朗日乘数：求z=f(x,y)在条件x,y=0下的可能极值点，先令F(x,y)=f(x,y)+(x,y)，解方程组Fx=f xx,y+xx,y=0Fy=f yx,y+yx,y=0F=x,y=0 ，得x,y及，则其中x,y就是可能极值点的坐标，再根据问题的实际背景或比较可能极值点的函数值讨论确定，约束条件可能多于一个。多元函数的最值及其应用闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否去最值。(如可能极值点唯一，则极大(小)值点即最大(小)值点。)求法二元函数极值：解方程组fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0得所有驻点； 对每一个驻点(x0,y0)，求A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，c=fyy(x0,y0)的值； 根据B2-AC的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。 条件极值：拉格朗日乘数法 最值：闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部所有驻点和偏导数不存在的点，比较这些点与边界上最值点的函数值，边界上的最值可利用条件极值来求。实际问题根据实际背景来确定是否去最值。6.变量替换下表达式的变形P1237.多元函数微分学的反问题由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参数等。特别是已知偏导数或偏导数所满足的关系式(方程)求函数，主要有两种题型：已知偏导数，通过不定积分求函数 设f(x,y)具有连续偏导数，且fx(x,y)=g(x,y)，fy(x,y=h(x,y)，则有 f(x,y)=fxx,ydx+y=gx,ydx+yf(x,y)=fyx,ydy+x=gx,ydy+x 已知多元函数的偏导数所满足的方程，通过变量代换，化为一元函数的导数所满足的方程，即常微分方程，求解微分方程得到函数。二、二重积分1.二重积分的概念与性质定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，2n(i也表示小闭区域的面积)，任取一点(i,i)i，d表示各小闭区域直径中的最大值，若limd0i=1nf(i,i)i总存在(与i的分法及(i,i)的取法均无关)，则称此极限值为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作Df(x,y)d或Df(x,y)dxdy，即Df(x,y)d=limd0i=1nf(i,i)i二重积分的几何意义当z=f(x,y)0时，二重积分Df(x,y)d表示以D为底，曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则二重积分Df(x,y)d一定存在。2.二重积分的性质设f(x,y)，g(x,y)在有界区域D上可积，则有(线性性) Dk1f(x,y)k2g(x,y)d=k1Df(x,y)dk2Dg(x,y)d(可加性) Dfx,yd=D1fx,yd+D2fx,yd，其中D=D1D2，且D1与D2仅在边上重叠，其他处不相互重叠。(不等式) 若在D上，f(x,y)g(x,y)，则Df(x,y)dDg(x,y)d； Dfx,ydDf(x,y)d； 若f(x,y)，g(x,y)在区域D上连续，f(x,y)g(x,y)，且f(x,y)不恒等于g(x,y)，则有严格不等式Df(x,y)dDg(x,y)d f(x,y)0且Df(x,y)d=0 推不出f(x,y)=0.但加上f(x,y)连续条件，则结论正确。(中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得Df(x,y)d=f(,)。关于对称性的性质 若D关于x轴对称，则Df(x,y)d= 0， 当fx,-y=-fx,y时 2D1fx,yd，当fx,-y=fx,y时其中D1为D的上半平面部分； 若D关于y轴对称，则Df(x,y)d= 0， 当f-x,y=-fx,y时 2D2fx,yd，当f-x,y=fx,y时其中D2为D的上半平面部分； (轮换对称性) 若xy互换，D保持不变时，即D关于直线x=y对称，则Df(x,y)dxdy=Df(y,x)dxdy=12Dfx,y+fy,xdxdy只要看到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考察被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算。被积函数含有抽象函数时，一般可考虑用对称性分析，特别当具有轮换对称性时，往往使用轮换对称性的公式。3.二重积分的计算利用直角坐标系计算 若D：axb，1xy2x，则Df(x,y)d=abdx1x2xf(x,y)dy 若D：cyd，1yx2y，则Df(x,y)d=cddy1y2yf(x,y)dx根据区域D的不同形状，可先定x的变化范围，再定y的变化范围，即先对y积分再对x积分；也可以反过来，有时候两种都可以。计算尽量简便的方法：先看被积区域的边界曲线方程，哪个变量次幂高或哪个变量关系负载，先定哪个变量，即后对此变量积分；若被积函数只有一个变量，一般先定此变量，即后对此变量积分。利用极坐标计算二重积分 令x=rcos，y=rsin，则fx,ydxdy=frcos，rsinr drd。若积分区域为圆域或圆域的一部分，被积函数为形如fx2+y2，fyx，fxy等，可考虑采用在极坐标系下进行计算，注意化为极坐标后，面积元素dxdy=r drd。极坐标下化二重积分为二次积分，一般选择的积分次序是先r后，定限时仍采用穿线法，为确定的变化范围，令极轴沿逆时针方向转动，极轴与积分域开始接触时的角即为的下限，离去时的角记为的上限。穿线是固定找r的变化范围，由于极径r0，故穿线为从极点出发作射线穿过区域D，穿入时碰到的D的边界曲线r1()为下限，穿出时离开的D的边界曲线r2()为上限。由积分区域定限，大致为下述三种若极点O在积分区域D的外部，D可以表示为，1r2，则 fx,ydxdy=d12frcos，rsinr dr若极点O在积分区域D的边界上，D可以表示为，0r，则 fx,ydxdy=d0frcos，rsinr dr 此情况中r不一定总是从0到，此时对r的积分限并不总是从0到。若